Curvatura de Caras de Conjuntos Convexos como Invariante Bajo Conjugación

DANIEL A JAUME; RUBÉN PUENTE

San Luis

Congreso; UMA 2001; 2001

Unión Matemática Argentina

Cualquier conjunto convexo cerrado $C\subset \mathbb{R}^{n}$ es representable mediante un sistema continuo: $\sigma =\left\{ a\left( t\right) ^{\prime }x\geq b\left( t\right) ,\;t\in T\right\} $ donde $T$ es un espacio Hausdorff compacto, y todos los coeficientes $a\left( \cdot \right) ,b\left( \cdot \right) $ son funciones continuas$.$ Cuando $T$ es un intervalo cerrado en $\mathbb{R}$ y las funciones $a\left( \cdot \right) ,b\left( \cdot \right) $ son anal\'{\i}ticas el sistema $\sigma $ se dice anal\'{\i}tico \cite{GyL}. Para problemas de Programaci\'{o}n Lineal Semi-Infinta donde el sistema de restricciones es anal\'{\i}tico , existen algoritmos que aprovechan las buenas propiedades geom\'{e}tricas des estos sistemas. M. Goberna y otros, ref. \cite{GJPyT}, demostraron que todo conjunto convexo poli\'{e}drico es representable anal\'{\i}ticamente, pero que las bolas cerradas de dimensi\'{o}n mayor que 2 no lo son, dejando abierta la caracterizaci\'{o}n de la clase de los conjuntos convexos cerrados representables anal\'{\i}ticamente. La ponencia presenta criterios de no-representabilidad anal\'{\i}tica que permiten demostrar que ``casi ning\'{u}n'' conjunto convexo cerrado de $% \mathbb{R}^{n}$ (con $n>2$) es representable anal\'{\i}ticamente. Especificamente, ni los los cuerpos convexos suaves de dimensi\'{o}n mayor que $2$ ni los cuasipoli\'{e}dricos no poli\'{e}dricos, son representables anal\'{\i}ticamente. Esto sugiere que la teor\'{\i}a de los sistemas anal% \'{\i}ticos debe enfocarse a conjuntos convexos cerrados en el plano. \begin{thebibliography}{9} \bibitem{GJPyT} Goberna, M.A., Jornet, V., Puente, R., Todorov, M. I. (1999). \textit{Analytical Linear Inequality Systems and Optimization,} Journal of Optimization Theory and Applications: Vol. 103, No.103, pp. 95-119. \bibitem{GyL} Goberna, M. and L\'{o}pez, M. (1998). \textit{Linear Semi-Infinite Optimization,} Wiley Series in Mathematical Methods in Practice, John Wiley \& Sons. \