Curvatura de Caras de Conjuntos Convexos como Invariante Bajo Conjugación

DANIEL A JAUME; RUBÉN PUENTE

Rosario

Congreso; UMA 2000; 2000

Unión Matemática Argentina

La conjugaci\'{o}n de caras ha sido y estudiada para conjuntos convexos compactos $C$ en $\mathbb{R}^{n}$ con el origen como punto interior. Esta operaci\'{o}n produce un isomorfismo entre los lattices de caras expuestas del convexo y las de su conjunto polar, que invierte el orden parcial dado por la inclusi\'{o}n. Primero extendemos la operaci\'{o}n de conjugaci\'{o}n de caras a convexos cerrados en $\mathbb{R}^{n}$ (acotados o no, con o sin el origen en su interior), basados en las propiedades de la misma operaci\'{o}n sobre conos convexos cerrados. Luego, definiendo para cada punto $x$ en la frontera de $C$ el \textit{% espacio tangente }$ST_{C}\left( x\right) $ como el subespacio de linealidad del cono tangente a $C$ en $x$, introducimos el concepto de \textit{dimensi% \'{o}n de curvatura} (\textbf{dic} para abreviar) en un punto (o en una cara) de $C$ como la dimensi\'{o}n del complemeto ortogonal del espacio de linealidad del cono de direcciones factibles $D\left( C,x\right) $ con respecto al espacio $ST_{C}\left( x\right) $. Este concepto es invariante por conjugaci\'{o}n y permite completar la relaci\'{o}n de dimensiones complementarias entre caras expuestas conjugadas (relaci\'{o}n muy conocida para poliedros convexos, para los cuales la \textbf{dic} es siempre $0$ y todas las caras son expuestas). Tanto el origen como la aplicaci\'{o}n m\'{a}s directa de estos resultados son los sistemas lineales semi-infinitos. Se conoce que cualquier convexo cerrado $C\subset \mathbb{R}^{n}$ es representable mediante un sistema continuo: $\sigma =\left\{ a\left( t\right) ^{\prime }x\geq b\left( t\right) ,\;t\in T\right\} $ donde el conjunto de \'{\i}ndices $T$ es un compacto Hausdorff y las funciones $a\left( \cdot \right) ,b\left( \cdot \right) $ son continuas. Cuando $T$ es un intervalo cerrado en $\mathbb{R}$ la representabilidad de un convexo $n$-dimensional $C$ se traduce enla posibilidad de que la curva $\Gamma \left( t\right) =\left( a\left( t\right) ,b\left( t\right) \right) $, en $\mathbb{R}^{n+1}$, recorra todos los puntos extremos expuestos del conjunto polar de $C$. La invarianza de la \textbf{dic% } bajo polaridad y las dimensiones complementarias son herramientas nuevas que permiten, entre otros, abordar el problema de la representabilidad de $C$ mediante sistemas suaves ($C^{n},C^{\infty }$ o $C^{\omega })$, estableciendo condiciones sobre las caras expuestas de $C$.