Derivada de Gateaux en Espacios de Lorentz-Orlicz

F. E. LEVIS; H. H. CUENYA

Neuquén

Congreso; LIV Reunión Anual de Comunicaciones Científicas; 2004

Unión Matemática Argentina

Sea $\Omega=[0,\alpha)$ con $0<\alpha \le \infty$ y $\mu$ la medida de Lebesgue. Sea $\Cal M_0=\Cal M_0(\Omega,\mu)$ la clase de funciones reales $\mu$-medibles sobre $\Omega$ que son finitas $\mu$-a.e. Como es usual, para $f \in \Cal M_0$ denotamos por $\mu_f$ su funci\'on distribuci\'on y por $f^*$ su reordenamiento decreciente. \par Sea $\phi:\Bbb R_+ \to \Bbb R_+$, una funci\'on diferenciable, convexa tal que $\phi(0)=0$ y $\phi(t)>0$ para todo $t>0$. Nosotros denotamos por $w:(0,\alpha) \to (0,\infty)$ una funci\'on peso decreciente y localmente integrable con $\lim\limits_{t \to \infty}w(t)=0$ si $\alpha=\infty$. Para $f \in \Cal M_0$, sea $$\Psi_{w,\phi}(f):=\int_0^{\alpha}\phi(f^*(t))w(t)d\mu(t).$$ \par En el espacio de Lorentz-Orlicz $\Lambda_{w,\phi}$, generado por el funcional $\Psi_{w,\phi}$, conside\-ramos la norma de Luxemburg, $ \| f\|_{w,\phi}$. \par En $[1]$, Carothers, Haydon y Lin, muestran que si $\alpha = \infty$, $\phi(t)=t^p$ con $1 < p < \infty$ y $w$ es estr\'{\i}ctamente decreciente,$ \gamma^+_{\Psi_{w,\phi}}(f,h)=p \int_0^{\infty}w(\tau_{f,h})|f|^p sg(f)h d\mu, $ donde $\tau_{f,h}$ es una cierta transformaci\'on que preserva medidas. \par Nosotros generalizamos este resultado considerando $0 < \alpha \le \infty$, $w$ decreciente y $\phi$ una funci\'on convexa. Adem\'as, calculamos la derivada lateral seg\'un Gateaux para el funcional $\Psi_{w,\phi}$ y para la norma de Luxemburg $\|.\|_{w,\phi}$. \par Como una aplicaci\'on de lo anterior, estudiamos un problema de mejor aproximaci\'on. Para un subconjunto convexo $K$ de $\Lambda_{w,\phi}$ y $f \in \Lambda_{w,\phi}$, diremos que $g \in K$ es un mejor $\Psi$-aproximante a $f$ si $\Psi_{w,\phi}(f-g) \le \Psi_{w,\phi}(f-h)$ para todo $h \in K$ y $g \in K$ es un mejor aproximante a $f$ si $\|f-g\|_{w,\phi} \le \|f-h\|_{w,\phi}$ para todo $h \in K$. \par Nosotros caracterizamos el conjunto de mejores $\Psi$-aproximantes sobre convexos y comparamos el conjunto de mejores aproximantes con el conjunto de mejores $\Psi$-aproximantes. \Refs\nofrills{Referencia} \ref \no1 \by N.L. CAROTHERS, R. HAYDON, P.K. LIN \paper On the Isometries of the Lorentz function spaces \jour Israel Journal of Mathematics \vol 84 \yr 1993 \pages 265-287 \endref \endRefs