Monotonia del Operador de Mejor Aproximación por Constantes en Espacios de Lorentz

F. E. LEVIS; H. H. CUENYA

Santa Fe

Congreso; LII Reunión Anual de Comunicaciones Científicas; 2002

Unión Matemática Argentina

Sean $\Cal M_0$ la clase de todas las funciones reales extendidas medibles Lebesgue definidas sobre el intervalo $[0,1]$ y $f^*$ el reordenamiento decreciente de $f \in \Cal M_0$. ([1]) \smallskip Para una funci\'on peso $w$, $w:[0,1] \to \Bbb R^+ $, decreciente y localmente integrable, consideremos el espacio de Lorentz $L^{w,q}$ de todas las funciones $f \in \Cal M_0$ para la cual $$\left\|f \right\|_{w,q}= \left(\int_0^{1}w(t)(f^*(t))^q dt \right)^\frac{1}{q}$$ es finita. \smallskip Sean  $\Cal C$ el subespacio de las funciones constantes en $L^{w,q}$ y $C_f$ el conjunto de todos los $c \in \Cal C $ que satisfacen $$ \left\|f-c \right\|_{w,q} \ = \inf_{k \in \Cal C} \left\|f-k \right\|_{w,q}.$$ Cada elemento de $C_f$ es llamado un mejor aproximante a $f \in L^{w,q}$. \smallskip En este trabajo probamos que si $1 \le q < \infty $, entonces el operador $$f \to C_f$$ es mon\'otono en el sentido definido por LANDERS y ROGGE en [2], sobre el conjunto de las funciones acotadas. M\’as precisamente demostramos el siguiente resultado: \proclaim{Teorema} Sean $f$ y $g$ funciones acotadas en $L^{w,q}$ tal que $f \le g$. Si $c \in C_f$ y $d \in C_g$, entonces $c \vee d \in C_g$ y $c \wedge d \in C_f$. \endproclaim \Refs\nofrills{Referencias} \ref \no1 \by C. BENNETT, R. SHARPLEY \book Interpolation of Operators \publ Academic Press. \publaddr USA \yr 1988 \endref \ref \no2 \by D. LANDERS, L. ROGGE \paper Best approximants in $L_{\phi}$ spaces \jour Z. Wahrsch.Verw.Gabiete \vol 51 \yr 1980 \pages 215-237 \endref \endRefs