Puntos Suaves en Espacios de Lorentz

F. E. LEVIS; H. H. CUENYA

San Luis

Congreso; LI Reunión Anual de Comunicaciones Científicas; 2001

Unión Matemática Argentina

Sean $(\Omega,\mu)$ un espacio de medida $\sigma$-finita no at\'omica, $\Cal M=\Cal M(\Omega,\mu)$ la colecci\'on de todas las funciones reales extendidas $\mu$-medibles sobre $\Omega$ y $\Cal M_0=\Cal M_0(\Omega,\mu)$ la clase de funciones en $\Cal M$ que son finitas en casi todo punto. Para $f \in \Cal M_0 $, consideremos el reordenamiento decreciente de $f$,$f^*.$ \smallskip Sea $L^{pq}=L^{pq}(\Omega,\mu)$ el espacio de Lorentz, el cual consiste de todas las funciones $f \in \Cal M_0$ para la cual $$ \left\|f \right\|_{pq}=\cases \left(\int_0^{\infty}{t^{\frac{q}{p}-1}{f^*}^q(t)dt} \right)^\frac{1}{q} & \text{si}\ 0<p< \infty,\;\;0<q< \infty \\  \sup_{0<t<\infty}{t^{\frac{1}{p}}f^{*}(t)}& \text{si}\ 0<p \le \infty,\;\;q=\infty \endcases $$ es finita. No es dif\'{\i}cil ver que el espacio de Lorentz $L^{pp}, (0<p \le \infty)$, coincide con el espacio de Lebesgue $L^p$ \smallskip Diremos que una funci\'on $f \in L^{p,q}$ es un {\it punto suave} en $L^{p,q}$ si existe la Derivada de Gateaux en el punto $f$. \smallskip Sea $f \in L^{p,q}$. Redefiniendo $f$, si es necesario, sobre un conjunto de medida cero, podemos asumir que $f$ y $f^*$ tienen el mismo rango no nulo, $R(f)$. Puesto que $f^*$ es decreciente, si $\lambda \in R(f)$, el conjunto $I(\lambda)=\{t>0:f^*(t)=\lambda\}$ es o bien un punto o un intervalo. Es claro que el caso donde $I(\lambda)$ es un intervalo puede ocurrir para una cantidad a lo sumo numerable de valores de $\lambda$, digamos $W(f)$. Llamemos $$E(f)=\Omega - \bigcup_{\lambda \in W(f)} C(\lambda)$$ donde $C(\lambda)=\{x \in \Omega_: |f(x)|=\lambda\}$, $$\Cal E^{p,q}=\left \{f \in L^{p,q}-\{0\}: \mu(sop(f)-E(f))=0 \right \} $$ donde $sop(f)=\{x \in \Omega_: |f(x)|>  0\}$ y $$\Delta^{p,1}=\Cal E^{p,1} \cap \left \{f \in L^{p,1}: \mu(\Omega-sop(f))=0 \;\;\text{o}\;\; m_{f^*}(0)=\infty \right \}$$ donde $m_{f^*}(0)=m(\{t>0:f^*(t)>0\})$($m$=medida de Lebesgue).\smallskip En este trabajo caracterizamos el conjunto de los puntos suaves en $L^{p,q}$, para $1 \le q < p < \infty$. A saber probamos que el conjunto de los puntos suaves de $L^{p,q}$ son \smallskip \roster \item"i)" $\Cal E^{p,q}$ si $q > 1$ y \smallskip \item"ii)" $\Delta^{p,1}$ si $q=1$.