El Error en phi-Aproximación Discreta

F. E. LEVIS

Bariloche

Congreso; XLVIII Reunión Anual de Comunicaciones Científicas; 1998

Unión Matemática Argentina

Sean $(\Omega,A,\mu)$ un espacio de medida sobre $\Omega=N,\;\phi:[0,\infty) \rightarrow [0,\infty)$ una funci\'on convexa con $\phi(x) > 0$ si $x>0$ y $\phi(0)=0$ y $W $ el ret\'{\i}culo de todas de sucesiones en el espacio de Orlicz $L_{\phi}$, no decrecientes. Consideremos $f \in L_{\phi}$ satisfaciendo $\sum_{k=1}^{\infty} \phi (\vert f_k-g_k \vert) \alpha_k < \infty$ para alguna $g \in W$. En este trabajo probamos que el error en $\phi$-aproximaci\'on, $E^*=\inf_{g \in W}\sum_{k=1}^{\infty}\phi(\vertf_k-g_k\vert)\alpha_k$ viene dado por $$E^*=\sum_{k=1}^{\infty}\phi(\vertf_k-\gamma_k\vert)\alpha_k$$ donde $\gamma_k=\lim_{n \rightarrow \infty} f^n_k $ y $f^n $ es el m\'{\i}nimo del conjunto $M^n_{\phi}(f)$ de vectores en $\Re^n$ que minimizan $\sum_{k=1}^{n} \phi(\vert f_k-h_k \vert)\alpha_k\;$ con $h$ en el conjunto $ M_n $ de vectores mon\'otonos en $\Re^n$. Adem\'as $$E^*=\lim_{n \rightarrow \infty}E_n $$ donde  $E_n= \sum_{k=1}^{n} \phi(\vert f_k-f^n_k \vert)\alpha_k.$ \newline \newline Por otra parte, si $M$ el conjunto de sucesiones en $L_{\phi}^{\infty}$ no decrecientes y $f \in L_{\phi}^{\infty}$ tal que $f \le g$ para alguna $g \in M$ entonces si para alg\'un $n_0 \in N$, $\sum_{k=n_0+1}^{\infty}\phi(\vertf_k-g_k\vert)\alpha_k\le \epsilon$, tenemos $$\vert E-E_{n_0} \vert \le \epsilon$$ donde $E=\inf_{g \in M} \sum_{k=1}^{\infty} \phi(\vert f_k-g_k \vert)\alpha_k$ \newline \newline Finalmente damos condiciones suficientes que garanticen la existencia de una sucesi\'on $g \in M$, mayorando una sucesi\'on $f\inL^{\infty}_{\phi}$ dada.