Una propiedad de la medida planar de la lemniscata

F.E. LEVIS; H.H. CUENYA

Bahia Blanca. Argentina

Congreso; LVI Reunion Anual de Comunicaciones Cientificas; 2006

Union Matematica Argentina

Sea C el conjunto de números complejos y m(A) la medida planar del conjunto A contenido en C. Para a=(a_1,...,a_n) en C^n y c>0, consideramos la lemniscata E(a,c), de focos a_j, 1<= j<=n, y radio c, es decir, el conjunto {z en C : prod_{j=1}^n |z-a_j|<=c}. En este trabajo establecemos la siguiente conjetura: Sea n un número natural. Existe una constante K>0 tal que para todo multi-índice a en C^n y para todo radio c, existe un disco B=B(a,c) contenido en E(a,c) satisfaciendo m(E(a,c))<=Km(B(a,c)). Nosotros probamos esta conjetura para el caso de a lo sumo tres focos. Además si s>0, mostramos la existencia de una constante K=K(s)>0 verificando la conjetura para todo radio c y para todo a en M(s), donde M(s):={a en C^n : mínimo{|a_j-a_i| : a_j distinto de a_i}>=máximo{|a_j-a_i|:i,j}}. Aquí nosotros convenimos que mínimo{|a_j-a_i| : a_j  distinto de a_i}|=0 si a es un multi-índice con todas las coordenadas iguales. Cabe destacar que la validez de la conjetura tiene implicancias en desigualdades polinomiales en espacios L^p, 0<p<=infty y permite obtener resultados de mejor aproximación local multipuntual en el dominio complejo, para k-uplas balanceadas.