Mejores aproximantes constantes en espacios de Orlicz-Lorentz

F. E. LEVIS; H. H. CUENYA; A. N. PRIORI

Córdoba

Congreso; LVII Reunión Anual de Comunicaciones Científicas; 2007

Unión Matemática Argentina

Sea M la clase de todas las funciones medibles Lebesgue definidas sobre [0,a), 0 < a <=¥, con valores en la recta extendida. Como es usual, para  f  Î M, denotemos su reordenamiento decreciente por f*. Sean F de IR+ en IR+ una funcion convexa, diferenciable, con F(0)=0 y F(t)>0 si t>0, y w de (0,a) en (0, ¥) una función peso, decreciente y localmente integrable. Si a=¥, asumimos w(t) tiende a 0, si t tiende a ¥ y la integral de w entre 0 y ¥ es igual a ¥. Para f Î M, sea P(f) la integral entre 0 y a de la función F(f*)w. Denotemos por X el espacio de todas las funciones en M tal que P(rf) <¥ para todo r > 0. y por X* el espacio definido análogamente a X donde ponemos la derivada de F, en lugar de F. Sean A contenido en [0,a) un conjunto de medida finita e I_A su función caracteristica. Llamemos C(f,A) al conjunto de todas las constantes c que minimizan la expresion P((f-c)I_A). Es bien conocido que C(f,A) es un intervalo compacto no vacio si f ÎX. Denotemos por T_A de X en el conjunto de partes de IR, al operador de mejor aproximacion por constantes definido por T_A(f)=C(f,A). El operador T_A se dice monótono si y sólo si f <=g, a.e.sobre A,   c Î T_A(f) y d ÎT_A(g), entonces min{c,d} Î T_A(f) y max{c,d} Î T_A(g). En [LC1], la monotonia de T_A ha sido estudiada cuando f y g son funciones simples, F(t)=t^p, 1 <= p <¥, y A=[0,a). En [MC1] los autores extendieron el operador T_A de L_p a L_{p-1}, p ³ 1, donde L_0 es el conjunto de todas las funciones medibles que son finitas en casi todo punto. Ademas, mostraron que T_A es monótono. Resultados similares en un subespacio del espacio de Orlicz han aparecido recientemente en [ZF]. En este trabajo nosotros extendemos el operador T_A al espacio X* y probamos la monotonia del operador extendido. Bibliografía: [LC1] F.E. Levis, H.H. Cuenya. Best Constant Approximants in Lorentz space, Journal of Approximation Theory, 131, 196-207, (2004). [MC1] F. Mazzone, H.H. Cuenya. Maximal inequalities and Lebesgue´s Differentiation Theorem for Best Approximant by Constant over Balls, Journal of Approximation Theory, 110, 171-179, (2001). [ZF] F.Zo, S. Favier. A Lebesgue type differentiation theorem for best approximations by constants in Orlicz space, Real Analysis Exchange, 30, 1, 29-42, (2004).