Desigualdades maximales en espacios de Orlicz-Lorentz y aplicaciones

A. N. PRIORI; F. E. LEVIS

Mendoza

Congreso; LVIII Reunión Anual de Comunicaciones Científicas; 2008

Unión Matemática Argentina

Sea $mathcal{M}_0$ la clase de todas las funciones medibles Lebesgue definidas sobre $[0,alpha)$, $0<alpha le infty$, con valores en la recta extendida $overline{mathbb{R}}$. Como es usual, para $f in mathcal{M}_0$, denotemos su reordenamiento decreciente por $f^*$. Sean $phi: mathbf{R}_+  to mathbf{R}_+$ una función convexa, diferenciable, con $phi(0)=0$ y $phi(t)>0$ si $t>0$, y $w:(0,alpha)  to (0,infty)$ una función peso, decreciente y localmente integrable. Si $alpha=infty$, asumimos $limlimits_{t to infty}w(t)=0$ y $int_0^{infty}w(t)dmu(t)=infty$. Para $f in mathcal{M}_0$, sea $Psi_{w,phi}(f)=intlimits_0^{alpha}phi(f^*(t))w(t)dmu(t).$ Denotemos por $Lambda_{w,phi}$ al espacio de Orlicz-Lorentz, $left{f in mathcal{M}_0 : Psi_{w,phi}(lambda f) < infty ;mbox{para todo}; lambda > 0 ight}$ y por $Lambda_{w,phi´}$ al espacio definido análogamente, donde $phi´$ es la derivada de la función $phi$. Sean $A subset [0,alpha)$ un conjunto de medida finita y $chi_A$ su función característica. Para $fin Lambda_{w,phi}$, llamemos $T_{A}(f)$ al conjunto de todas las constantes $c$ que minimizan la expresión $Psi_{w,phi}((f-c)chi_A).$ Es fácil ver que $T_{A}(f)$ es un intervalo compacto no vacío si $f in Lambda_{w,phi}$. Denotemos por $T_A: Lambda_{w,phi}  to 2^{mathbb{R}}$ al operador de mejor aproximación por constantes. En cite{LCP} su extensión a  $Lambda_{w,phi´}$ y su monotonía en el sentido de Landers y Rogge fueron establecidos. Sea ${B(x,epsilon)}_{epsilon}$, $epsilon>0$, una red de intervalos de la forma $(x-epsilon,x+epsilon) subset [0,alpha)$. Para $f in Lambda_{w,phi´}$, sea $f^{epsilon}(x) in T_{B(x,epsilon)}(f)$. En cite{MC1} los autores estudiaron la convergencia de $f^{epsilon}(x)$ a $f(x)$, para $epsilon $ tendiendo $0$, cuando $f in L_{p-1}+L_{infty}$, $1 le p < infty$. Resultados similares en el espacio de Orlicz han aparecido en cite{ZF}. En este trabajo, estudiamos el problema mencionado en $Lambda_{w,phi´}$. Para $f in Lambda_{w,phi´}$, consideramos la función maximal definida en $(0,alpha)$, $Mf(x)= sup left{ frac{Psi_{w,phi´}(f chi_{B(x,epsilon)})} {Psi_{w,phi´}(chi_{B(x,epsilon)})} ,:epsilon >0 text{ y }  B(x,epsilon) subset (0,alpha) ight}.$  En cite{BMR}, desigualdades débiles para $Mf$ fueron estudiadas cuando $Lambda_{w,phi´}$ es el espacio de Lorentz $L_{p,q}$, $1 le p,q < infty$. Nosotros extendemos estos resultados a $Lambda_{w,phi´}$. Como una consecuencia, obtenemos una generalización del Teorema de Diferenciación de Lebesgue. Referencias {BMR} J. Bastero, M. Milman, F. Ruiz, Rearrangement of Hardy-Littewood maximal functions in Lorentz spaces, Proc. Amer. Math. Soc.,  128, (1) (1999), 65-74. {LCP} F.E. Levis, H.H. Cuenya, A.N. Priori. Best constant approximants in Orlicz-Lorentz spaces, Commentationes Mathematicae, 48 (1) (2008). {MC1} F. Mazzone, H.H. Cuenya. Maximal inequalities and Lebesgue´s Differentiation Theorem for Best Approximant by Constant over Balls}, Journal of Approximation Theory, 110,  (2001), 171-179. {ZF} F.Zo, S. Favier. A Lebesgue type differentiation theorem for best approximations by constants in Orlicz space, Real Analysis Exchange, 30, (1)  (2004), 29-42.