Ángulos entre subespacios, inversas generalizadas y ecuaciones tipo Douglas

M. LAURA ARIAS; GUSTAVO CORACH; M. CELESTE GONZALEZ

Mendoza, Argentina

Congreso; LVIII Reunión Anual de comunicaciones científicas de la Unión Matemática Argentina; 2008

Universidad Nacional de Cuyo

Sean H, K y G espacios de Hilbert complejos y L(H,K) el espacio de los operadores lineales y acotados de H en K. Dados B en  L(H,K) y C en L(G,K) la ecuación BX=C será llamada "ecuación tipo Douglas". El teorema de inclusión de rangos probado por Douglas (ver [D]) provee condiciones equivalentes para la existencia de soluciones de este tipo de ecuaciones. En [ACG] presentamos la siguiente versión más general del teorema de  Douglas: Teorema: Sean B en  L(H,K) y C en L(G,K). Las siguientes condiciones son equivalentes: 1.  Existe D en L(G,H) tal que BD=C; 2. R(C) está contenido en  R(B); 3. Existe un número positivo k tal que CC^*<= k BB^*. Si alguna de estas condiciones vale y M es un subespacio cerrado de H tal que N(B)+M=H entonces existe una única  solución X_M en L(G,H) de la ecuación BX=C tal que R(X_M) está contenido en M. El operador X_M será llamado una "solución reducida" de la ecuación BX=C. Si M es el ortogonal del N(B) entonces X_M será llamada la "solución reducida de Douglas" de la ecuación BX=C.  En esta comunicación estudiamos las soluciones D en  L(G,H) de la ecuación BX=C que pueden factorizarse como D=B'C para algún operador lineal  B'  tal que R(C) está contenido en D(B') y el dominio de B' no necesariamente denso en H. Las soluciones reducidas admiten esta  factorización. Más aun, D es una solución reducida si y sólo si B' puede elegirse como una inversa generalizada de B. Una adecuada  condición de ángulos entre subespacios también interviene en esta caracterización. En el caso finito dimensional, probamos que las soluciones reducidas son las únicas que admiten esta factorización. Referencias: [ACG] M. L. Arias, G. Corach and M.C. Gonzalez; Generalizad inverses and Douglas equations,  Proc. Amer. Math. Soc. 136 Nº 9, (2008) 3177-3184.     [D] R. G. Douglas, On majorization, factorization and range inclusion of operators in Hilbert space, Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966) 413-416.