Desigualdades maximales en espacios de Orlicz-Lorentz y aplicaciones

F. E. LEVIS

Jaén

Conferencia; Seminario Permanente de Investigación en Teoria de Aproximación y Temas Afines; 2008

Departamento de Matemática de la Universidad de Jaén.

Sea $\mathcal{M}_0$ la clase de todas las funciones medibles Lebesgue definidas sobre $[0,\alpha)$, $0 0 \right\}$ y por $\Lambda_{w,\phi'}$ al espacio definido an\'alogamente, donde $\phi'$ es la derivada de la funci\'on $\phi$. \par Sean $A \subset [0,\alpha)$ un conjunto de medida finita y $\chi_A$ su funci\'on caracter\'{\i}stica. Para $f\in \Lambda_{w,\phi}$, llamemos $T_{A}(f)$ al conjunto de todas las cons\-tantes $c$ que minimizan la expresi\'on $\Psi_{w,\phi}((f-c)\chi_A).$ Es fácil ver que $T_{A}(f)$ es un intervalo compacto no vac\'{\i}o si $f \in \Lambda_{w,\phi}$. Denotemos por $T_A: \Lambda_{w,\phi} \to 2^{\mathbb{R}}$ al operador de mejor aproximaci\'on por constantes. En \cite{LCP} su extensión a $\Lambda_{w,\phi'}$ y su monotonía en el sentido de Landers y Rogge fueron establecidos. \par Sea $\B(x,\epsilon)\}_{\epsilon}$, $\epsilon>0$, una red de intervalos de la forma $(x-\epsilon,x+\epsilon) \subset [0,\alpha)$. Para $f \in \Lambda_{w,\phi'}$, sea $f^{\epsilon}(x) \in T_{B(x,\epsilon)}(f)$. En \cite{MC1} los autores estudiaron la convergencia de $f^{\epsilon}(x)$ a $f(x)$, para $\epsilon \to 0$, cuando $f\in L_{p-1}+L_{\infty}$, $1 \le p < \infty$. Resultados similares en el espacio de Orlicz han aparecido en \cite{ZF}. En este trabajo, estudiamos el problema mencionado en $\Lambda_{w,\phi'}$. \par Para $f \in \Lambda_{w,\phi'}$, consideramos la función maximal definida en $(0,\alpha)$, $Mf(x)= \sup \left\{ \frac{\Psi_{w,\phi'}(f\chi_{B(x,\epsilon)})} {\Psi_{w,\phi'}(\chi_{B(x,\epsilon)})} \,:\, \epsilon >0 \text{ y } B(x,\epsilon) \subset (0,\alpha) \right\}. $ En \cite{BMR}, desigualdades débiles para $Mf$ fueron estudiadas cuando $\Lambda_{w,\phi'}$ es el espacio de Lorentz $L_{p,q}$, $1 \le p,q < \infty$. Nosotros extendemos estos resultados a $\Lambda_{w,\phi'}$. Como una consecuencia, obtenemos una generalización del Teorema de Dife\-renciación de Lebesgue. Referencias: J. Bastero, M. Milman, F. Ruiz,{\em Rearrangement of Hardy-Littewood ma\-ximal functions in Lorentz spaces}, Proc. Amer. Math. Soc., 128, (1) (1999), 65-74. F.E. Levis, H.H. Cuenya, A.N. Priori. {\em Best constant approximants in Orlicz-Lorentz spaces}, Commentationes Mathematicae, 48 (1) (2008). F. Mazzone, H.H. Cuenya. {\em Maximal inequalities and Lebesgue's Differentiation Theorem for Best Approximant by Constant over Balls}, Journal of Approximation Theory, 110, (2001), 171-179. F.Zo, S. Favier. {\em A Lebesgue type differentiation theorem for best approximations by constants in Orlicz space}, Real Analysis Exchange, 30, (1) (2004), 29-42.