Interpolación y Mejor Aproximación Simultánea Local por Funciones Racionales

A. N. PRIORI; F. E. LEVIS; H. H. CUENYA

Córdoba

Congreso; IV CONGRESO LATINOAMERICANO DE MATEMÁTICOS; 2012

Unión Matemática de América Latina y el Caribe

Sean k un número natural , x_j números reales, j=1,...,l, e  I la unión de l intervalos reales,no vacios, cerrados y disjuntos dos a dos, centrados en x_j y de amplitud 2b. Para s un número entero no negativo,  denotemos por C^s(I) al espacio de funciones reales definidas sobre I con derivadas continuas hasta el orden s. Sean  F,G: de [0,1) en [0,1) con  F(0) = G(0) = 0 y F(x),G(x) positivas para x positivo, continuamente diferenciable, estrictamente creciente en (0,inf), con G(x) tiendiendo a infinito para x tendiendo a infinito, y F diferenciable, convexa en (0,inf) y satisfaciendo la condición Delta 2. Consideremos el funcional H(f_1,...,f_k) := suma_{j=1 a l} G(integral_{I} F(|f_j|)/2kb) para f_j en C^0(I), j=1,...,l; y el conjunto de funciones racionales R(n,m) con numerador de grado a lo sumo n y denominador no nulo sobre I de grado a lo sumo m. Diremos que u en R(n,m) es un mejor aproximante simultáneo (m.a.s.) de las l funciones, si minimiza G(f_1-v,...,f_l-v) , para v en R(n,m). Se probaron los siguientes resultados: a) existe un m.a.s. de las l funciones desde R(n,m) si F(x) = x^p, p entre 1 e infinito, y l = 2; b)  todo m.a.s. interpola a una combinación convexa de cualquier extensión continua de f_1 y f_2 en al menos n + m + 1 puntos de la cápsula convexa de I; c) en el caso de un punto y G una potencia, cualquier red de m.a.s., u_b, converge al aproximante de Padé del promedio de las dos funciones, cuando b tiende a 0, siempre que éste exista. Referencias [1] H.H. Cuenya and F.E. Levis. Interpolation and best simultaneous approximation. Journal of Approximation Theory. 162, (2010), 1577-1587. Página web: http://www.famaf.unc.edu.ar/clam2012/pages/analisis-arm_teoria_aprox.html