Haces óptimos en espacios normados

F. E. LEVIS; C.N.RODRIGUEZ

Córdoba

Congreso; IV CONGRESO LATINOAMERICANO DE MATEMÁTICOS; 2012

Unión Matemática Argentina

En algunas situaciones de interés práctico, tenemos el problema de encontrar una unión de subespacios que mejor aproxime a un conjunto de puntos dados. Sean l,n,m números naturales y F un espacio normado con métrica d. Consideramos el conjunto P_n(F) de subespacios de F con dimensión n y B{l,n}(F) el conjunto formado por las uniones de l subespacios en P_n(F). Una tal unión es llamada haz. Sean r de R^m en R_+ una función monótona semicontinua inferiormente con r(0,...,0)=0 y {u_1,...,u_m} la base canónica de R^m. Si Y={ f_1,...,f_m} esta contenido en F y V en B{l,n}(F), definimos la desviación del conjunto Y al haz V y el diámetro del conjunto Y por E(Y,V)= r(suma_{k=1}^m d(f_k,V)u_k) y E_F(Y)=inf_{V en B_{l,n}(F)} E(Y,V), respectivamente. Un haz V_0 en  B_{l,n}(F) se dice ser un haz óptimo para Y si E(Y,V_0)=E_F(Y). Recientemente, en [1] se prueba existencia de haces óptimos cuando F=R^s, s un número natural, y r es la norma Euclídea y se da un algoritmo para encontrarlo. El caso l=1, para espacios normados generales fue estudiado en [2]. Más antecedentes pueden verse en [3]. En este trabajo estudiamos la existencia de haces óptimos en espacios normados arbitrarios y damos propiedades de la desviación y el diámetro. Referencias: [1] A. Aldroubi, C. Cabrelli and U. Molter, Optimal non-linear models, Rev. UMA. 50 (2) (2009), 217-225. [2] H. Cuenya, F. Levis, M. Lorenzo and C. Rodriguez, Optimal subspaces in normed spaces, East J. Approx. 16 (3) 2010), 193-207. [3] Y. Lu and M. N. Do, A theory for sampling signals from a union of subspaces, IEEE Trans. Signal Process. 56 (6) (2008), 2334-2345. Página web: http://www.famaf.unc.edu.ar/clam2012/pages/analisis-arm_teoria_aprox.html