Mejor aproximación en espacios de Orlicz-Lorentz

F.E. LEVIS

Mar del Plata

Conferencia; LIX Reunión Anual de Comunicaciones Científicas; 2009

Unión Matemática Argentina

Sea M_0 la clase de todas las funciones medibles Lebesgue definidas sobre [0,alpha), 0<alpha <= infinito, con valores en la recta extendida de R. Como es usual, para f en M_0, denotamos su reordenamiento decreciente por f^*. Sean phi de R_+ en R_+ una función convexa, diferenciable, con phi(0)=0 y phi(t)>0 si t>0, y w de (0,alpha) en (0,infinito) una función peso, decreciente y localmente integrable. Si alpha=infinito, se asume  lim_{t to infinito}w(t)=0 y int_0^infinito w(t)dmu(t)=infinito. Para f en M_0, sea Psi_{w,phi}(f)=int _0^alpha phi(f^*(t))w(t)dmu(t). Denotamos por Lambda_{w,phi} al espacio de Orlicz-Lorentz, {f en M_0 : Psi_{w,phi} (lambda f) < infinito para todo lambda > 0} y por Lambda_{w,phi´} al espacio definido análogamente, donde phi´ es la derivada de la función phi. Con la norma de Luxemburg definida por ||f||_{w,phi}= inf {epsilon>0 :  Psi_{w,phi} (f / epsilon ) <= 1}, Lambda_{w,phi} es un espacio de Banach. El propósito de esta comunicación es resumir algunos recientes resultados acerca de los espacios de Orlicz-Lorentz, los cuales generalizan a los de los espacios de Orlicz y de Lorentz. Más precisamente, se estudió la diferenciabilidad Gateaux del funcional Psi_{w,phi} y de la norma de Luxemburg. Se obtuvo una expresión de la derivada lateral a derecha en ambos casos y se describió aquellos puntos en donde la derivada existe. Se caracterizaron los mejores phi-aproximantes desde un subconjunto convexo K y se estableció una relación entre los mejores phi-aproximantes y los mejores aproximantes en la norma. Para el caso particular donde K es el conjunto de las funciones constantes, se proporcionó un algoritmo para construir el mejor phi-aproximante máximo y mínimo. Se extendió el operador de mejor phi-aproximación por constantes de Lambda_{w,phi} a Lambda_{w,phi´} y se demostró la propiedad de monotonía del mismo. Finalmente, se dieron dos generalizaciones del Teorema de Diferenciación de Lebesgue a los espacios Lambda_{w,phi´}, a saber: probando que ciertos promedios integrales de una función f converge a f en ctp y otra considerando mejores aproximantes constantes a f restringida a bolas de radio epsilon y mostrando que convergen a f en ctp. cuando epsilon tiende a 0. Referencias:  [1] F.E. Levis, H.H. Cuenya, Gateaux Differentiability for Functional of Type Orlicz-Lorentz, Acta Math. Univ. Comenianae, 73, 1 (2004), 31-41.  [2] F.E. Levis, H.H. Cuenya, Gateaux differentiability in Orlicz - Lorentz spaces and applications, Math. Nachr., 280, 11 (2007), 1-15. [3] F.E. Levis, H.H. Cuenya, A.N. Priori, Best constant approximants in Orlicz - Lorentz spaces}, Comment. Math. Prace Mat., 48, 1 (2008), 59-73. [4] F.E. Levis, Weak inequalities for maximal functions in Orlicz-Lorentz spaces and applications, J. Approx. Theory, In Press, Accepted Manuscript, Available online 5 May 2009.