Mejor aproximación simultánea local en varios puntos

A. N. PRIORI; F. E. LEVIS; H. H. CUENYA

Tucumán

Congreso; LXI Reunión Anual de Comunicaciones Científicas; 2011

Unión Matemática Argentina

Sean k un número natural, x_j números reales, j=1,...,l, e I la unión de l intervalos reales B_j, no vacios, cerrados y disjuntos dos a dos, centrados en x_j y de amplitud 2b. Para s un número entero no negativo, denotemos por C^s(I) al espacio de funciones reales definidas sobre I con derivadas continuas hasta el orden s. Consideremos C^0(I) con la siguiente norma ||h||= (integral_I |h|^p/|I|)^(1/p), p entre 1 e infinito, donde |I| representa la medida de Lebesgue de I. Para e entre 0 y 1, sea ||.||_e la seminorma sobre C^0(I) definida por ||h||_e = || h^e||, donde h^e(t) = h(e(t-x_j)+x_j), t en B_j. Dado un número natural n, consideremos la clase Pi^n de polinomios de grado a lo sumo n, y suponemos n + 1 = kq + r, con r entre 0 y k-1. Sean f_1 y f_2 en C^0(I), e entre 0 y 1, y P_e en Pi^n el mejor aproximante (l_inf,Lp)-simultáneo (m.a.s.) a f_1 y f__2 desde Pi^n respecto a ||.||_e, es decir, maximo{||f_1,P_e||_e,||f_2-P_e||_e}=infimo_{P en Pi^n} maximo{||f_1,P||_e,||f_2-P||_e}. Si la red P_e tiene un límite, cuando e tiende a 0, entonces decimos que el límite es el mejor aproximante local (l_inf,Lp)-simultáneo de f_1 y f_2 desde Pi^n sobre x_1,...,x_k. Se probó el siguiente resultado de interpolación: el (l_inf,Lp)-m.a.s. a dos funciones f_1, f_2 en C^0(I), interpola a una combinación convexa de cualquier extensión continua de f_1 y f_2 en al menos n + 1 puntos de la cápsula convexa de I. Este resultado permite ver que la red P_e es uniformemente acotada sobre compactos, cuando f_1, f_2 están en C^(n+1)(I). Bajo ciertas condiciones sobre las funciones se obtuvo la existencia y caracterización del mejor aproximante local (l_inf,Lp)-simultáneo de f_1, f_2 desde Pi^n sobre x_1,...,x_k. Página web: http://www1.herrera.unt.edu.ar/uma2011/comunicaciones.html