Discretización de un problema fraccionario usando mallas graduadas.

LOMBARDI ARIEL; PENESSI CECILIA; BARRIOS MELANI

Congreso; LXXII Reunión de Comunicaciones Científicas (UMA); 2023

Consideramos la aproximación por elementos finitos del problema $(P)$ de contorno para potencias fraccionarias de un operador elíptico\[   \mathcal L^su = f\qquad \mbox{en }\Omega, \quad \quad    u=0\qquad\mbox{en }\partial\Omega,\]donde por simplicidad $\Omega$ es el cuadrado unitario $[0,1]^2$, $\mathcal L$ es un operador elíptico de la forma $\mathcal Lv=-\Delta v + c(x)v$, con $c(x)\geq 0$, y  $s\in (0,1)$.La dificultad para obtener esquemas eficientes radica en que  $\mathcal L^s$ es un operador no local. Para lograr una discretización manejable computacionalmente, utilizamos una estrategia propuesta por  Caffarelli y Silvestre \cite{CS2007}, quienes  mostraron que cualquier potencia fraccionaria del Laplaciano en $\mathbb R^n$ puede realizarse como una aplicación Dirichlet-to-Neumann de una extensión al semiespacio $\mathbb R_+^{n+1}$. El problema extendido se aproxima mediante una diagonalización a partir de una semidiscretización en la variable extendida, resultando en la solución de una sucesión de problemas de reacción-difusión singularmente perturbados. En la literatura (por ejemplo \cite{BMS2023}) se proponen estrategias para resolver adecuadamente estos problemas que requieren del uso de mallas anisotrópicas geométricamente refinadas hacia la frontera de $\Omega$. Sin embargo, para obtener resultados adecuados, tales mallas deben ser elegidas dependiendo del parámetro de perturbación singular  de  cada uno de los problemas obtenidos. Para la discretización de tales problemas de reacción--difusión, proponemos utilizar elementos finitos sobre mallas graduadas  (introducidas en \cite{DL2005}) que  se definen independientemente del valor del parámetro de perturbación singular,  para las cuales se tienen resultados de aproximación óptimos en la norma de la energía.Combinando esta técnica con nuevos resultados de superconvergencia para los problemas de reacción--difusión, obtenemos convergencia óptima en el parámetro de discretización para la aproximación del problema $(P)$.