Nuevas caracterizaciones del orden parcial diamante

F.E. LEVIS; D. E. FERREYRA; V. ORQUERA

Salta

Congreso; LXXII Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la Unión Matemática Argentina; 2023

Unión Matemática Argentina

En el año 1990, Baksalary y Hauke [1] definieron un orden parcial sobre el conjunto de matrices complejas rectangulares que resulta el clásico {it orden parcial estrella} ($stackrel{*}le$) sobre el conjunto de isometrías parciales. En [3], los autores retomaron dicho orden parcial en el contexto de anillos abstractos y lo renombraron como {it orden parcial diamante} ($stackrel{diamond}le$). Recientemente, en [2,4] se estudiaron algunas nuevas propiedades y representaciones mediante ciertas descomposiciones matriciales. En este trabajo se introduce una nueva relación binaria sobre $mathbb{C}^{m \times n}$. Más precisamente, dadas $A,B \in mathbb{C}^{m \times n}$, se dice que $Apreceq B$ si $mathcal{R}(B^*)=mathcal{R}(A^*)oplus mathcal{R}(B^dag-A^dag)$, donde $dag$ simboliza la inversa de Moore-Penrose de una matriz. Se prueba que la relación $preceq$ es un orden parcial sobre $mathbb{C}^{m \times n}$. Más aún, dicho orden resulta equivalente al orden parcial $stackrel{diamond}le$. Por otro lado, es bien conocido que $stackrel{*}le iff {}_{ast}{le}~ext{y}~ {le}_{*}$, donde ${}_{ast}{le}$ y ${le}_{*}$ indican los órdenes parciales estrella a izquierda y a derecha, respectivamente. También se sabe que $stackrel{*}le Longrightarrow stackrel{diamond}le $. En este sentido, se muestra que la implicación anterior se mantiene válida si se usa solamente uno de los órdenes parciales estrella laterales. Este trabajo está parcialmente subvencionado por Universidad Nacional de Río Cuarto (PPI 18/C559), Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería (Resol. Nro. 135/19), CONICET (PIP 112-201501-00433CO y PIBAA 28720210100658CO). Trabajo en conjunto con David E. Ferreyra (Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN, Argentina) y Fabián E. Levis (Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN, Argentina. Referencias: [1] - J.K. Baksalary, J. Hauke, A furher algebraic vesion of Cochran´s theorem and matrix partial orderings, Linear Algebra Appl., 127 (1990) 157-169. [2] - D.E. Ferreyra, S.B. Malik, Some new results on the core partial order, Linear Multilinear Algebra, 70 (18) (2022) 3449-3465. [3] - L. Lebtahi, P. Patr´{i}cio, N. Thome, The diamond partial order in ring, Linear Multilinear Algebra, 62 (3) (2014) 386-395. [4] - V. Hernández, M. Lattanzi, N. Thome, From projectors to 1MP and MP1 generalized inverses and their induced partial orders, Rev. Real Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. Ser. A-Mat., 115 (2021) Article 148.