Herramientas útiles para las ecuaciones diferenciales de superficies

ANIBAL CHICCO RUIZ

Santa Fe

Seminario; Seminario del IMAL; 2022

Instituto de Matemática Aplicada del Litoral

En esta charla se hará un acercamiento hacia los problemas de optimización geométrica, que llevan a ecuaciones diferenciales donde la incógnita es una superficie sujeta a transformaciones físicas. Dichas ecuaciones se escriben en términos de los invariantes geométricos de las superficies, como sus curvaturas media y gaussiana. Introduciremos algunas herramientas que nos permitirán acercarnos a estos problemas de manera amigable. En primer lugar, utilizaremos la función "distancia orientada" y las "derivadas tangenciales" para expresar esos invariantes en forma global, prescindiendo del enfoque clásico de geometría de superficies, que recurre a parametrizaciones locales. Por otra parte, "la derivada de forma" nos permitirá expresar los problemas de optimización geométrica con un enfoque similar al usado para funciones reales, permitiendo a su vez la definición de algoritmos de aproximación, como el método de Newton o el método del descenso más pronunciado. Finalmente, utilizaremos "métodos isogeométricos" (polinomios a trozos que se pegan suavemente, conservando la regularidad) para la discretización de estas superficies, sus invariantes y su ecuaciones, en las que generalmente aparecen derivadas de orden mayor a 2.