Control de caos en el sistema de Chen mediante realimentación lineal

V.A. COSTA; G. A. GONZÁLEZ

Mar del Plata, Prov. de Buenos Aires

Congreso; LIX Reunión Anual de Comunicaciones Científicas UMA; 2009

Unión Matemática Argentina

 El sistema de Chen está descripto por las ecuaciones diferenciales:                                      x´ = a(y-x)                                      y´=(c-a)x+cy-xz                                      z´=-bz+xy donde x, y, z son las variables de estado y a>0, b>0 y c son parámetros reales (2c>a). Para los valores de a=35, b=3 y c=28 tiene un comportamiento caótico y sus puntos de equilibrio inestables son E_1=(0,0,0), E_2=(sqrt{63},sqrt{63},21)  y E_3=(-sqrt{63},-sqrt{63},21). Supongamos que es posible perturbar el sistema no lineal X´=f(X), que tiene en el E_2 un punto de equilibrio, mediante un control por realimentación lineal de los estados, U=-k(X-E_2), que lo afecte aditivamente. Resulta entonces el sistema controlado X´=f(X)-k(X-E_2) que preserva a E_2 como punto de equilibrio. El fin es controlar el caos del sistema de Chen. Ello requiere no sólo modificar el comportamiento caótico sino hacerlo mediante pequeñas perturbaciones  al sistema. Para lograrlo, nos proponemos estabilizarlo en el punto de equilibrio E_2, mediante un control como el antedicho y contemplando los siguientes aspectos: 1.  Asegurar convergencia. Mostramos que para un conjunto de valores de la ganancia del control, k, el sistema controlado es localmente asintóticamente estable. Entonces, para garantizar convergencia debemos conocer la región (o cuenca) de atracción. Fijado un valor de k, obtenemos una estimación de la misma, utilizando el método directo de Lyapunov. Esta estimación teórica, si bien conservadora, nos asegura que las trayectorias del sistema controlado que allí se inicien, convergerán al equilibrio E_2. 2. Utilizar controles que no excedan cierto esfuerzo. La cota del control depende de k y de la distancia de la trayectoria al punto de equilibrio. Por otro lado, debido a la ergodicidad, (casi) cualquier trayectoria del sistema libre se acerca a la frontera de un entorno de E_2. Fijamos k tal que dicho entorno está incluido en la cuenca de atracción del sistema controlado y de modo que los controles no excedan la cota requerida. Dejamos evolucionar al sistema libre hasta llegar a la cuenca de atracción y una vez allí, se aplica el control. Alcanzada la región de atracción, la trayectoria del sistema controlado no la abandonará  y convergerá al punto E_2. Implementamos un algoritmo teniendo en cuenta los aspectos mencionados y lo aplicamos al sistema de Chen. Las simulaciones resultantes permiten analizar algunos aspectos del desempeño del método que complementan los resultados teóricos.