Algoritmos greedy: bases almost y semi-greedy, similitudes y diferencias

LASSALLE S.

Córdoba

Seminario; Coloquio CIEM-CONICET; 2022

FAMAF UNCOR

El problema fundamental de la teoría de la aproximación es 'resolver'una función {\it objetivo}, típicamente complicada, dando en su lugar otrasde cálculo más sencillo, llamadas {\it aproximantes}. Los primeros métodos desarrollados fueron los de aproximación lineal, las funciones se describen por medio de una serie construida respecto de un sistema dado. Por ejemplo, Fourier (1807) propuso representar funciones $2\pi$-periódicas por series con respecto al sistema trigonométrico ${ e^{ikt}: k\in Z\}$ (atractivo por la ortogonalidad de sus componentes). Las aproximaciones no-lineales surgen de la necesidad de trabajar con un sistema que resulte más eficiente (que la aproximación lineal) en latrasmisión de información. Así nace el concepto de algoritmo greedy (``Thresholding Greedy Algorithm'', TGA). El TGA da aproximaciones no lineales a vectores de un espacio a través de una serie cuyos coeficientes resultan estar ordenados (en valor absoluto) en forma decreciente. Este tipo de descripciones permite generar estrategias para lograr buenas o mejores aproximaciones fijando el número de términos a usar: mejor $m$-aproximante. Las bases greedy resultan ser bases (de Schauder) incondicionales. El sistema trigonométrico es una base de $L_p([0, 2\pi])$ que sólo es incondicional para $p=2$. Luego, si $p\ne 2$ no es una base greedy. A partir de los trabajos de Dilworth, Kalton, Kutzarova y Temlyakov (2003), se tienen variantes más flexibles conocidas como bases almost greedy y semi-greedy. En esta charla, presentaremos estos conceptos y haremos el recorrido iniciado en 2003 hasta probar que, en el contexto más general de bases de Markushevich, ambas nociones son equivalentes. También veremos que no siempre coinciden.