Aplicación de Estrategias de Adaptación Biológica a la Optimización de Formas Estructurales

C. WESSEL; A.P.CISILINO; B. SENSALE

Modelización Aplicada a la Ingeniería

Universidad Tecnológica Nacional

Lugar: Buenos Aires; Año: 2005; p. 442 - 465

La presencia de concentradores de tensión en estructuras en servicio da frecuentemente lugar a la propagación de fisuras, y los consecuentes accidentes catastróficos. Es por esta causa que la optimización para reducir tensiones ha sido durante largo tiempo un tema de sumo interés en la comunidad ingenieril, como puede verse en Belegundu y Chandrupatla (1999). Las estrategias determinísticas para la optimización estructural pueden clasificarse en Métodos de programación Matemática, por un lado, y Métodos basados en Criterios de Optimalidad, por el otro. Entre los primeros, que hacen uso de extensamente estudiadas herramientas matemáticas, pueden citarse los Métodos Directos (Trosset 1997, Dennis y Torczon 1991, Roekaerts y Schwarz 1987), los Métodos llamados “derivative free” (Lucidi et. al. 2002, Lucidi and Sciandrone 2002, Zhu and Wu 2003, Lewis et. al. 2000, Peng 1998, Platen 1989, Conn et. al. 1997) y los denominados “gradientless” (Schnack 1988, Schnack 1988, Schnack et. al. 1988, Schnack and Iancu 1989, Schnack and Iancu 1991, Schnack and Iancu 1993). Los segundos, vale decir, los Métodos basados en Criterios de Optimalidad, hacen uso de información física y mecánica del problema particular (Sauter et. al. 1996), proporcionando condiciones necesarias para que exista un mínimo de la función objetivo. Ese conocimiento físico y mecánico es, a su vez, su principal desventaja, ya que limita la aplicación de  Criterios de Optimalidad a determinadas áreas específicas. La Naturaleza ofrece múltiples ejemplos en los que las estructuras biológicas se adaptan a las condiciones de carga. Es por ello que resulta de gran interés estudiar su comportamiento para copiar su estrategia de adaptación. Un ejemplo clásico de adaptación natural es el de cambio de forma que presenta el tejido óseo ante la variación del estado tensional al que se ve sometido. Pueden citarse (Goodship y Cunningham, 2001) infinidad de ejemplos, tal como el de la pérdida significativa de masa ósea en los miembros inferiores de astronautas sometidos a microgravedad durante los vuelos espaciales. Se han construido numerosos dispositivos, como el clásico modelo in vivo sobre cúbitos de pavo (descritos por ejemplo en Lanyon y Rubin, 1984 o Lanyon et. al, 1982), los cuales han mostrado el efecto de tensiones, deformaciones, velocidad de carga, etc. sobre tejido óseo. Entre los Métodos basados en criterios de Optimalidad cabe mencionar el Método de Crecimiento Biológico (BGM). Puede incluirse, también, entre aquellos que intentan imitar a la Naturaleza y que pueden aplicarse en todo tipo de estructuras. Fue formulado por Mattheck (1990) basándose en  sus observaciones sobre crecimiento de cornamentas y árboles. Como se describirá con detalle en la próxima Sección, a partir de la definición de diseño óptimo como aquel para el cual las tensiones son uniformes en parte o toda la superficie de la estructura, Mattheck sostuvo que la Naturaleza siempre optimiza sus diseños hasta alcanzar ese estado óptimo. Fue un paso más allá al afirmar que el fenómeno de optimización para la uniformización se da en un delgado estrato superficial de módulo de Young reducido en el que puede observarse la expansión o contracción. El ejemplo más claro resulta el de los árboles: exclusivamente la corteza modifica su geometría para adaptarse a la variación del estado tensional. Las ideas de Mattheck han sido implementadas hasta el momento utilizando el llamado Método de Elementos Finitos (FEM) (Mattheck y Burkhardt, 1990, Mattheck y Huber-Betzer, 1992, Chaperon, 2001, Li et . al. 1999, Tekkaya and Güneri, 1995). En este trabajo, a diferencia de éstos, se ha implementado BGM a través del llamado Método de Elementos de Contorno. Por otro lado, con respecto a los criterios de optimización basados en la observación del fenómeno de adaptación de huesos y que se aplican exclusivamente en este tipo de tejidos, se ha llevado a cabo extensa investigación y se han propuesto formulaciones íntegramente disímiles (una interesante revisión puede consultarse en Hart, 2001). Dado que la variación en la geometría en tejido óseo se da por aposición, todas ellas consideran fenómenos puramente superficiales. Todas las formulaciones citadas, tanto como BGM, son modelos fenomenológicos, que prescinden de consideraciones biológicas pero pueden contrastarse fácilmente con observaciones clínicas (Cowin, 2004) y han arrojado resultados cualitativamente correctos al ser aplicados a casos clínicos concretos. Cabe destacar dentro de ellos el Método de Elasticidad Adaptiva (MAE), propuesto por Cowin y Hegedus (1976), el cual postula que, en el estado óptimo las deformaciones son uniformes. En este trabajo se mostrarán los resultados obtenidos al implementar MAE por medio del Método de Elementos de Contorno. El  Método de Elementos de Contorno (BEM) se ha convertido en una alternativa ventajosa a FEM ya que sólo requiere el modelado del contorno de la estructura (y no la de todo el dominio), mientras que los resultados que provee son precisos tanto en desplazamientos como en  tensiones en el contorno (Brebbia et. al. 1984). Ya que, por ejemplo, el fenómeno de uniformización de tensiones se da en BGM en el dominio cercano a la superficie de la estructura, su implementación a través del Método de Elementos de Contorno (BEM) resulta especialmente atractiva, ya que este último requiere exclusivamente de la discretización del contorno del problema. Se presenta en este trabajo un algoritmo numérico evolutivo para la optimización de estructuras bidimensionales. Este algoritmo utiliza el Método de Elementos de Contorno (BEM) para implementar, en primer lugar, el Método de Crecimiento Biológico (BGM) y, en segundo, el Método de Elasticidad Adaptiva (MAE). Se emplean aquí dos formulaciones distintas de BEM: la estándar (para calcular tensiones o deformaciones en la estructura) y el denominado Método de reciprocidad Dual (para determinar la geometría final luego de la optimización). Luego de reseñar la teoría subyacente a los métodos utilizados se describe la implementación del algoritmo llevada a cabo por estos autores. Luego se muestran los ejemplos corridos tanto para BGM (Wessel et. al., 2004) como para MAE, con lo cual se pone en evidencia la robustez y versatilidad del algoritmo.