Ecuaciones polinomiales y equilibrios de Nash

GABRIELA JERONIMO; DANIEL PERRUCCI; JUAN SABIA

Salta, Argentina

Congreso; LV Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la Unión Matemática Argentina; 2005

Unión Matemática Argentina

Un equilibrio de Nash de un juego no cooperativo es una situación en la cual ningún jugador puede cambiar su estrategia unilateralmente y obtener un beneficio, lo que hace que el juego se estabilice. Presentamos un algoritmo que estima la cantidad de equilibrios de Nash totalmente mixtos de un juego (es decir, equilibrios en los cuales cada jugador utiliza todas las estrategias de las que dispone). Nuestro algoritmo se basa en técnicas de eliminación provenientes de la geometría algebraica y semialgebraica, utilizando una caracterización de los equilibrios buscados como las soluciones reales positivas de un sistema de ecuaciones polinomiales. En primer lugar, para un juego dado, obtenemos una descripción de los equilibrios totalmente mixtos del juego por medio de ecuaciones polinomiales univariadas. Esta descripción se deducede una representación paramétrica de un conjunto de soluciones complejas del sistema de ecuaciones polinomiales asociado al juego. La cantidad de equilibrios de Nash totalmente mixtos se estima entonces utilizando la representación calculada: el problema se reduce a determinar condiciones de positividad  negatividad de una familia de polinomios univariados sobre el conjunto de los ceros reales de otro polinomio univariado. El algoritmo obtiene también una representación exacta de los equilibrios totalmente mixtos de un juego genérico con cantidad de jugadores y estrategias prefijadas, lo que nos permite dar condiciones de genericidad bajo las cuales un juego con la estructura considerada tiene la máxima cantidad posible de tales equilibrios.