Indice de diferenciación de sistemas de ecuaciones diferenciales algebraicas

GABRIELA JERONIMO

Vaquerías, Sierras de Córdoba, Argentina

Congreso; III Encuentro Nacional de Algebra; 2006

El índice de diferenciación de un sistema de ecuaciones diferenciales algebraicas es un invariante asociado al sistema que representa una medida de la complejidad de la resolución del mismo. En el caso de sistemas de ecuaciones de primer orden, este invariante esencialmente mide la cantidad mínima de veces que deben derivarse las ecuaciones de manera que las derivadas de las incógnitas queden determinadas en función de las mismas incógnitas (es decir, para obtener un sistema ODE explícito). Presentamos una definición algebraica precisa del índice de diferenciación para sistemas de ecuaciones diferenciales polinomiales de orden arbitrario con segundos miembros genéricos, la que se obtiene a partir del estudio de propiedades de los rangos de matrices jacobianas asociadas a las ecuaciones dadas y sus derivadas sucesivas. Damos también una cota superior para el índice de diferenciación en términos de los órdenes de las ecuaciones dadas. Nuestro enfoque da lugar a un algoritmo polinomial para el calculo del índice de diferenciación. Asimismo, mostramos una definición equivalente del índice de diferenciación en términos de la estabilización de una cadena creciente de ideales definidos por las derivadas sucesivas de las ecuaciones del sistema dado. Como consecuencia, obtenemos una cota superior para la regularidad de la función de Hilbert-Kolchin asociada a los sistemas considerados, independiente de conjuntos característicos. A partir de esta cota, para sistemas de dimensión diferencial 0, probamos que derivando las ecuaciones originales tantas veces como el índice de diferenciación del sistema, es posible obtener ecuaciones para las derivadas de cierto orden de las incógnitas en función de derivadas de orden menor. Trabajo en colaboración con Lisi D´Alfonso y Pablo Solernó.