Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales algebraicas implícitas

JERONIMO, GABRIELA

Mar del Plata

Congreso; LIX Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la Unión Matemática Argentina; 2009

Unión Matemática Argentina

Un invariante fundamental relacionado con la complejidad de la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales algebraicas (DAE) es el índice de diferenciación del sistema. Para sistemas de ecuaciones de primer orden, este invariante es una cota superior para la cantidad mínima de veces que deben diferenciarse las ecuaciones del sistema para que las derivadas de las incógnitas queden determinadas en función de las incógnitas (es decir, para obtener un sistema ODE explícito). La extensión de métodos numéricos conocidos para la resolución de sistemas ODEha dado lugar al desarrollo de procedimientos numéricos eficientes para resolver sistemas deíndice 0 o 1. Algunos de estos métodos también han sido generalizados al caso de sistemas DAE de índice arbitrario, aunque para sistemas de índice alto resultan sensiblemente más costosos que para aquéllos de índice bajo.  Esto ha motivado al estudio de métodos dereducción del índice, que consisten en dado un sistema DAE encontrar otro equivalente pero con índice de diferenciación más bajo. En esta charla presentaremos un nuevo método de reducción del índice para sistemas DAE quasi-regulares de orden arbitrario. Este método se basa en una caracterización algebraica del índice de diferenciación y la aplicación de técnicas provenientes del ámbito de la resolución simbólica de ecuaciones polinomiales para la obtención de un sistema lineal semi-explícito de índice 1 asociado al dado. Por medio de un teorema de existencia y unicidad de soluciones garantizamos que el sistema  calculado permite hallar  soluciones del sistema original para condiciones iniciales en un abierto apropiado.