Análisis numérico de un problema de control óptimo elíptico distribuido

D.A. TARZIA

MECANICA COMPUTACIONAL

Asociacion Argentina de Mecánica Computacional

Lugar: Santa Fe; Año: 2009 vol. 28 p. 1149 - 1160

1666-6070

Sea un dominio acotado  de  con una frontera  regular compuesta de dos porciones de frontera  y  con . En  C.M. Gariboldi – D.A. Tarzia, Appl. Math. Optim., 47 (2003), 213-230 (ver también MAT - Serie A, 7 (2004), 31-42), se considera el siguiente problema de control óptimo distribuido para un sistema que puede representar el caso estacionario del problema de Stefan: hallar el  donde la función costo  viene dada por  con ,  dado y es el estado del sistema definido por la única solución de la siguiente ecuación variacional que corresponde a un problema elíptico con condiciones de contorno mixtas: donde  es la energía interna en  ,  la temperatura sobre  y  el flujo de calor sobre  con: Se prueba que existe un único control óptimo  y la condición de optimalidad se expresa por en , donde es el estado adjunto del sistema, definido en función del . Por otro lado, se prueba una condición suficiente para que el operador  definido por  tenga un único punto fijo. El objetivo del presente trabajo es el de realizar el análisis numérico del problema de control óptimo y su correspondiente convergencia usando el método de los elementos finitos con triángulos de Lagrange de tipo 1 constituido por elementos finitos de clase siendo  el parámetro que tiende a cero. Se discretizan las ecuaciones variacionales elípticas que definen el estado del sistema y de su estado adjunto y además la función de costo. Se demuestra que existen únicos control , sistema  y estado adjunto  óptimos discretos. Además, se demuestran los siguientes límites cuando : y se dan los órdenes de convergencia, en función de ,  y para adecuados valores de .