Homología de las álgebras de Lie bn con coeficientes en caracteres arbitrarios

LÓPEZ GONZALO MAXIMILIANO; CANTERLE ELDA GRACIELA

Congreso; LXI Reunión de Comunicaciones Científicas - Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2011

Sea b la subálgebra de Borel de sl(2,C), es decir el álgebra de Lie con base {H,E} y con corchete [H,E]=2E. Para cada n, sea V_n la representación irreducible de sl(2,C) de peso máximo n. Haciendo actuar b en V_n definimos el producto semidirecto b_n=b x V_n. Resulta que b_n es un álgebra de Lie tres pasos soluble cuyo radical nilpotente es el álgebra de Lie filiforme estándar. En este trabajo calculamos la homología H_*(b_n,C_{lambda}) de b}_n con coeficientes en un carácter arbitrario lambda de b_n (lambda:b_n -> C). La homolog´ia del nilradical de b_n se puede deducir del clásico trabajo de Kostant cite{K} en el que se calcula la cohomología de los nilradicales de subálgebras parabólicas de álgebras de Lie semisimples. Por resultados básicos de homología de álgebras de Lie, el problema de calcular H_*(b_n,C_{lambda})$ se reduce a calcular H_*(b, (/\^j V_n) X C_{lambda}). Por otro lado, H_*(b, (/\ ^j V_n) X C_{lambda}) está directamente relacionada con la descomposición de /\^j V_n de b como suma directa de representaciones irreducibles de sl(2,C). Existen diferentes descripciones de la descomposición de /\^j V_n como sl(2, C)-módulo, ver por ejemplo cite{Stanley} o cite{Manivel}. En particular puede ser descripta en términos de los q-coeficientes binomiales y con esta información obtenemos una expresión para la dimensión de H_k(b_n,C_{lambda}) para todo k y todo n. Este enfoque fue usado en cite{Canterle} para el caso en que lambda=0. Este problema es un paso hacia el objetivo de encontrar una relación general entre la homología de un álgebra de Lie soluble de dimensión finita y su sombra nilpotente, que es una extensión del radical nilpotente.