Desigualdades con diferentes pesos para operadores multilineales

SHELDY JAVIER OMBROSI; MARÍA BELÉN PICARDI; KANGWEI LI

Congreso; XIV Congreso Dr. Antonio Monteiro; 2017

En este trabajo estudiamos desigualdades mixtas con pesos para operadores multilineales y (sub)multilineales. Vale el siguiente teorema:Sean $w_1,...,w_m in A_1$ y sea $vin A_{infty}$. Sea $u = w_1^rac{1}{m}...w_m^rac{1}{m}$. Entonces existe una constante $C$ tal que$$Bigg| rac{prod_{i=1}^m{Mf_i}}{v}Bigg|_{L^{rac{1}{m}, infty}(u v^rac{1}{m})} leq C prod_{i=1}^m{|f_i|_{L^1(w_i)}}.$$Este teorema generaliza al contexto multilineal el resultado de Sawyer sobre desigualdades mixtas. Además observar que es el caso m´as singular, ya que $vin A_{infty}$.Como corolario de este teorema y teniendo en cuenta la definici´on del operador (sub)multilineal $mathcal{M}$ definido como $$mathcal M(ec f,)(x)=sup_{xin Q}prod_{i=1}^mrac{1}{|Q|}int_Q|f_i(y_i)|dy_i,$$ donde $ec{f}=(f_1,...,f_m)$ y el supremo es tomado sobre todos los cubos $Q$ que contienen a $x$, tenemos que vale: Sean $w_1,...,w_m in A_1$ y sea $vin A_{infty}$. Sea $u = w_1^rac{1}{m}...w_m^rac{1}{m}$. Entonces existe una constante $C$ tal que$$Bigg| rac{mathcal{M} (ec{f}) (x)}{v}Bigg|_{L^{rac{1}{m}, infty}(u v^rac{1}{m})} leq C prod_{i=1}^m{|f_i|_{L^1(w_i)}}.$$A partir de este ´ultimo corolario y argumentos de extrapolaci´on podemos extender nuestro resultado a operadores de Calder´on-Zygmund multilineales.