¿Qué revelan y qué ocultan las pruebas acerca de cómo el matemático llega a la resolución de un problema? De Descartes a Leibniz

JOSÉ GUSTAVO MORALES; MATÍAS A. SARACHO

Jornada; XXIV Jornadas de Epistemología e Historia de la Ciencia; 2013

El presente trabajo consiste dos secciones principales: la primera está dedicada al caso de las pruebas en Descartes, mientras que la segunda parte se concentra en el tema en relación con Leibniz. I. Descartes En el trasfondo del menosprecio de Leibniz hacia las demostraciones sintéticas se encuentra la distinción fundamental que había establecido Descartes entre demostraciones sintéticas y analíticas. Aunque ambos autores difieren con respecto a la naturaleza del análisis, entendido como un método de resolución de problemas, algunas de las ideas más fundamentales siguen siendo las mismas. Descartes introduce esta distinción y explica con abundante grado de detalle su naturaleza en sus Respuestas a las Objeciones a las Meditaciones Metafísicas, más precisamente en la Respuesta a las Segundas Objeciones, de cuya recopilación estuvo a cargo de Mersenne. Este finaliza su relato, al final de la Séptima Objeción, sugiriendo que sería útil exponer las pruebas ofrecidas en las Meditaciones también en forma geométrica, utilizando como premisas ciertas definiciones, postulados y axiomas, para que al lector le sea más sencillo comprender la fuerza de la prueba. Descartes responde a esta sugerencia diciendo que él efectivamente ha escrito las Meditaciones siguiendo la manera geométrica de escribir aunque no siguiendo el mismo patrón de argumentación que poseen los Elementos de Euclides. Esto es, comenzar por definiciones postulados y axiomas y luego deducir a partir de todo ello las distintas proposiciones. Aclara esto diciendo que él distingue entre el orden y el modo [ratio] de un argumento. El 'orden' de un argumento - dice: … consists simply in putting forward as first what ought to be known without any help from what comes afterward and then in arranging all the rest in such a way that they are demonstrated solely by means of what preceded them. (Descartes 2006, 92). Luego, distingue dos modos: sintético y analítico. Dice Descartes que a diferencia de los Elementos de Euclides que se ciñen al estilo sintético de presentación de un argumento, las Meditaciones siguen un estilo analítico. El modo sintético es aquel que menciona Mersenne y que ejemplifican los Elementos de Euclides. Descartes considera que este último no es más que un modo de exponer lo que ya se sabe. El modo analítico en cambio muestra el verdadero camino seguido en la resolución de un problema. Mostrar el camino seguido en la resolución de un problema cuando este no ha sido resuelto por accidente sino metódicamente (Descartes tiene en mente un método en particular) constituye por si mismo una prueba que valida el resultado (este es un aspecto común con el modo sintético, que también valida o prueba un resultado). Pero el modo sintético tiene la ventaja de revelar el arte de la invención, algo mucho más valioso que cualquier resultado geométrico por sí mismo.   Descartes pretendía que su método fuera universal en el sentido de que podría aplicarse a todo el ámbito del conocimiento, así sus Meditaciones Metafísicas siguen una exposición analítica y del mismo modo presenta de modo analítico la explicación del arco iris. Pero en virtud de que la universalidad del método es un punto problemático, discutido por muchos autores, y por otro lado que discutir este último aspecto se encuentra más allá de nuestras pretensiones, limitaremos nuestra atención a cómo esta distinción se presenta puntualmente en la práctica matemática de Descartes. Para ello, atenderemos a la explicación ofrecida del método en su Geometría de 1637 y, en particular, a la resolución del problema del locus que Descartes retoma de Pappus de Alejandría y que resuelve en su Geometría a partir del diseño de nuevos instrumentos de investigación analítica. Un problema que no había podido ser resuelto por los geómetras griegos en su complejidad. II. Leibniz Al igual que Descartes y otros matemáticos de su época, en determinados contextos Leibniz se pronunció en contra de las demostraciones sintéticas tal como se presentan en el libro de Euclides. Según su opinión, las estructuras argumentativas utilizadas por Euclides ocultan el camino que condujo a la resolución de los problemas que se presentan en los Elementos según el orden axiomático-deductivo. Quizá el ejemplo que mejor ilustra la dificultad señalada por Leibniz es el de las demostraciones indirectas que emplean el recurso a una reductio ad absurdum, un recurso empleado típicamente en demostraciones relativas a problemas de cuadraturas. Conocido un resultado A, se muestra luego de una serie de pasos deductivos que partiendo de la negación de dicho resultado se sigue una contradicción. Si bien este procedimiento ofrece razones para no rechazar A, no da razones de fondo para aceptarlo. La pregunta que se plantea a la luz de estos casos es cómo se llegó a saber que A. Por ejemplo, el área calculada por Arquímedes de la parábola es de P = 4/3 x [(b x h)/2]. Para su demostración Arquímedes supuso primeramente ¬ P; luego de una serie de pasos deductivos se deriva una contradicción a partir de la cual podemos afirmar P. Sin embargo, en ningún momento de la demostración es posible saber cómo Arquímedes inicialmente calculó P. Expresado de otro modo, la demostración no da ninguna pista acerca del método empleado por Arquímedes para saber que P es 4/3 x [(b x h)/2]. Ahora bien, sólo a través de métodos directos de demostración es posible comprender la naturaleza de ciertas curvas; pero tales procedimientos tienen que apelar a una noción problemática que conduce a diversas paradojas, la noción de indivisible. ¿Es posible elaborar una demostración indirecta que exhiba el camino que condujo a la resolución del problema, i. e., una demostración que posea interés explicativo, y que no tenga que apelar a la noción de indivisible? En este contexto Leibniz diseña una demostración indirecta (proposición 6, DQA), diferente a las que se encuentran en la geometría de Euclides, a fin de mostrar que el área de una curva C es la mitad del área de otra curva D construida a partir de la primera. Esta demostración constituye según Leibniz el fundamento de un método que permite transformar una curva cuya ecuación contiene cantidades irracionales en otra que puede ser expresada por medio de series infinitas de números racionales. En el escolio VII de DQA Leibniz refiere a esta demostración en los siguientes términos: (…) parmi toutes les déductions ad absurdum, je crois que la manière de proceder la plus simple, la plus naturelle et la plus proche de la démonstration directe consiste à montrer directement (...) qu’il n’y a aucune différence entre deux quantités et que par conséquent ces quantités sont égales (DQA, p. 71 –  traducción al francés de M. Parmentier, 2004). Pero si bien Leibniz destaca que se trata de una demostración cuyo procedimiento es más natural y más cercano al de una demostración directa, en ningún momento explica por qué ello es así. En esta sección del presente trabajo nos proponemos mostrar que la demostración indirecta que elabora Leibniz como fundamento de su método posee interés explicativo debido a que permite (a) elucidar con precisión una noción nueva que reemplaza a la de indivisible; nos referimos a la noción de “infinitamente pequeño” (una noción estructural en DQA); y (b) definir la igualdad en términos de “equipolencia”; así, dos curvas serán iguales no sólo cuando su área sea la misma sino también cuando el proceso de construcción de las mismas a través de figuras elementales (triángulos o rectángulos) pueda ser seguido ad infinitum, de modo que la diferencia entre ambas curvas siempre será menor a cualquier cantidad que pueda ser asignada. En virtud de (a) y (b) en adelante Leibniz empieza a desarrollar demostraciones directas empleando elementos “infinitamente pequeños” e “infinitos” en forma rigurosa. Ello da cuenta a nuestro entender del carácter fructífero de la demostración de la que nos ocuparemos.   Bibliografía Celluci, C. (2008). Why proof? What is a proof? In Deduction, Computation, Experiment (pp. 1-27). Dordrecht: Springer. Cellucci, C. (2013). Rethinking Logic: Logic in Relation to Mathematics, Evolution, and Method. Springer. Descartes, R. (2001). Discourse on method, optics, geometry, and meteorology. Hackett Publishing. Descartes, R. (1897). AT: Charles Adam and Paul Tannery, 12 vols. Paris: Cerf, 1910. Descartes, R. (2006). Meditations, objections, and replies. Hackett Publishing. Grosholz, E. (1991). Cartesian method and the problem of reduction. Oxford: Clarendon Press. Grosholz, E. R. (2007). Representation and productive ambiguity in mathematics and the sciences. 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