Secuenciabilidad de grupos (y diseños, y otras yerbas)

ADRIÁN PASTINE

Bahía Blanca

Seminario; Seminario de Álgebra, Combinatoria y Teoría de Lie (SemACT); 2020

Universidad Nacional del Sur

Un grupo de orden $n$ es \textbf{secuenciable} si existe una sucesi\'{o}n $$g_0,g_1,\ldots,g_{n-1}$$ de los diferentes elementos del grupo, de manera tal que los productos parciales $$g_0,g_0g_1,g_0g_1g_2,\ldots,g_0g_1g_2\cdots g_{n-1}$$ son todos distintos. Esta noci\'{o}n fue introducida y estudiada por B. Gordon en 1961 por su conexi\'{o}n a los cuadrados latinos.En 1974, G. Ringel introdujo el concepto de grupo $R$-secuenciable. Un grupo orden $n$ es \textbf{$R$-secuenciable} si existe una permutaci\'{o}n de los elementos distintos a la identidad$$g_1,g_2,\ldots,g_{n-1}$$de manera tal que los elementos de la sucesi\'{o}n\[g_{1}^{-1}g_{2},g_{2}^{-1}g_3,\ldots,g_{n-2}^{-1}g_{n-1},g_{n-1}^{-1}g_{2}\]son todos distintos.Ringel estaba interesado en este concepto para encontrar embebimientos del grafo completo $K_n$ en superficies orientables con alg\'{u}n genus.Si bien las definiciones de secuenciable y $R$-secuenciable son inicialmente muy distintas, resultan muy similares al verlas en el contexto de digrafos de Cayley. En esta charla haremos uso de digrafos de Cayley para caracterizar los grupos abelianos secuenciables y $R$-secuenciables, y daremos generalizaciones del problema tanto en la teor\'{i}a de grupos como en la teor\'{i}a de dise\~{n}os combinatorios.