EL CONJUNTO SETWISE-ESTABLE EN UN MODELO DE ASIGNACIÓN MUCHOS-A-MUCHOS

DRA. PAOLA B. MANASERO

Bahía Blanca

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2016

Gale y Sotomayor (1985) en un modelo de asignación muchos-a-uno con preferencias responsivas con cuota, conocido en la literatura como "the college admission problem" describen el mercado de matrimonio relativo al modelo muchos-a-uno. Ellos definen una correspondencia natural inyectiva entre las asignaciones de ambos modelos descriptos, la cual es usada para trasladar muchos de los resultados clásicos demostrados en los mercados uno-a-uno al the college admission problem. Dicha correspondencia, tiene la propiedad de preservar la estabilidad de las asignaciones entre ambos modelos. En la primera parte de nuestro trabajo, extendemos lo estudiado por Gale y Sotomayor (1985) a un mercado de asignación muchos-a-muchos con preferencias responsivas con cuota de un lado del mercado, y estudiamos cómo definir las preferencias de los agentes en su mercado muchos-a-uno relativo para conservar la estabilidad de las asignaciones. Luego, definimos una aplicación entre el conjunto de asignaciones de un mercado muchos-a-muchos con preferencias responsivas con cuota de un lado del mercado y el conjunto de asignaciones del mercado muchos-a-uno relativo, la cual restringida al conjunto de asignaciones estables es biyectiva y de esta manera preservamos la estabilidad de las asignaciones entre ambos modelos. Sotomayor (1999) en un modelo de asignación muchos-a-muchos, define una versión del concepto de estabilidad por grupo, a la que llamó setwise estabilidad, que es el conjunto de asignaciones individualmente racionales que no pueden ser bloqueadas por una coalición que forma nuevas asignaciones solo entre sus miembros, pero puede preservar alguna de sus asignaciones de agentes fuera de la coalición. Así, como una aplicación de la función biyectiva definida, probamos que el modelo de asignación muchos-a-muchos con preferencias responsivas con cuota de un lado del mercado, y su modelo relativo muchos-a-uno, tienen conjuntos de soluciones setwise estable equivalentes. Dado que, en los modelos de asignación muchos-a-uno con preferencias sustituibles se cumple que el conjunto de asignaciones estables y el conjunto de asignaciones setwise estable coinciden, probamos como un resultado inmediata de dicha equivalencia, que en un modelo de asignación muchos-a-muchos tal que los agentes de un lado del mercado tienen preferencias sustituibles y del otro lado tienen preferencias responsivas con cuota, el conjunto de asignaciones estable y el conjunto de asignaciones setwise estable coinciden, y por lo tanto este último es no vacío. Además, demostramos que esta equivalencia respeta los órdenes de los agentes sobre las asignaciones setwise estable lo cual implica que el conjunto de asignaciones setwise estable en dicho modelo muchos-a-muchos tiene estructura de reticulado con los correspondientes órdenes de Blair (1988), de aquí se sigue que en ambos modelos los conjuntos de soluciones setwise estable tienen estructura de reticulado equivalentes. Referencias 1. Blair, C. (1988), "The Lattice Structure of The set of Stable Matchings with Multiple Partners", Mathematics of Operations Research, 13, 619-628. 2. Gale, D. y Sotomayor, M. (1985), "Some Remarks on the Stable Marriage Problem", Discrete Appl. Math, 11, 223-232. 3. Sotomayor, M. (1999), "Three Remarks on the Many-to-Many Stable Matching Problem ", Mathematical Social Sciences, 38, 55-70.