Análisis de la resonancia 1:2 en sistemas con retardos usando el método de Hopf gráfico

GRISELDA R. ITOVICH; JORGE L. MOIOLA; FRANCO S. GENTILE

Bahía Blanca

Congreso; Reunión anual de la Unión Matemática Argentina; 2016

Unión Matemática Argentina

En este trabajo se analiza la dinámica de un sistema de ecuaciones diferenciales con retardos en el entorno de un punto de equilibrio donde, para una cierta conguración de parámetros, hay una degeneración de Hopf que se conoce como una resonancia 1:2. Esta singularidad se describe cuando la linealización del sistema evaluada en el punto crítico tiene dos pares de autovalores imaginarios puros, que normalizados pueden representarse como: iW; i2W y el resto de los autovalores tiene su parte real negativa. Esta degeneración está tipificada para EDOs por medio de formas normales y se sabe que es de codimensión 3, es decir se necesitan tres parámetros para poder describir en forma completa el comportamiento del sistema en su entorno. Utilizando desarrollos equivalentes para ecuaciones diferenciales con retardos, Campbell y LeBlanc realizaron estudios donde detectaron la presencia de bifurcaciones de doble periodo en las inmediaciones de la singularidad. Por otra parte, el teorema de Hopf gráfico permite estudiar dicha bifurcación así como sus degeneraciones y es la herramienta elegida para el desarrollo efectuado, ya que se consiguen expresiones bastante precisas de las soluciones periódicas emergentes. A partir de las mismas es posible detectar ciertas bifurcaciones por medio de un método de colocación con polinomios de Tchebyshev, la aproximación del operador de monodromía y el análisis de los multiplicadores de Floquet. De esta forma, se pueden reconocer comportamientos del sistema característicos, en cercanías de la singularidad y describir la dinámica del sistema en su entorno.