La estructura de la lógica cuántica en un álgebra de conjuntos

S. FORTIN; L. VANNI

Buenos Aires

Congreso; Segundo Congreso de la Asociación Latinoamericana de Filosofía Analítica; 2012

Asociación Latinoamericana de Filosofía Analítica

De acuerdo con la formulación Hamiltoniana de la mecánica clásica, el estado de un sistema físico queda unívocamente determinado al precisar posición y momento de cada uno de sus grados de libertad. Posición y momento son representados mediante ejes cartesianos en el espacio de fases, donde el estado queda representado como un punto que evoluciona regido por las ecuaciones de Hamilton. No obstante, además de los estados, en necesario caracterizar las propiedades que un sistema posee o no en un dado instante. Las propiedades de todo sistema siempre pueden expresarse en términos de condiciones sobre las variables dinámicas, que dependen, en general, de la posición y momento. Así, las propiedades quedan caracterizadas por condiciones que dependen de la posición y el momento, o bien de subconjuntos de puntos (regiones) en el espacio de fases. Un sistema posee una dada propiedad en un determinado instante, si el punto que representa al estado en ese instante pertenece a la región que representa la propiedad.Desde el punto de vista lógico esto tiene una consecuencia importante: la estructura lógica de las descripciones clásicas se reduce al álgebra de conjuntos, con las operaciones habituales de intersección, unión, complemento e implicación. La intersección se corresponde con la conjunción lógica, la unión con la disyunción, el complemento con la negación y, finalmente, la inclusión con la relación de orden que establece una implicación. La descripción de un sistema puede ser especificada, entonces, al dar una partición del espacio de fases que determina las propiedades atómicas más simples que se pueden diferenciar. Mediante disyunciones sucesivas de estas propiedades atómicas es posible construir el universo de discurso correspondiente a dicha descripción, el cual, mediante la relación de orden dada por la inclusión, se organiza en una estructura llamada retículo.Una característica distintiva de los retículos de propiedades clásicas es que son distributivos. Un retículo se dice distributivo o booleano, cuando en él se cumple el caso de la igualdad en las llamadas desigualdades distributivas. En los retículos de propiedades cuánticas la situación es muy diferente. Esto se debe a que los entes matemáticos adecuados para las descripciones cuánticas forman una estructura muy distinta a la de los conjuntos y subconjuntos. De acuerdo a la formulación de la mecánica cuántica, el estado de un sistema queda determinado por un vector en un espacio de Hilbert, cuya evolución es regida por la ecuación de Schrödinger. Las propiedades cuánticas son representadas por subespacios en el espacio de Hilbert o, lo que es lo mismo, por sus correspondientes proyectores asociados. Un sistema cuántico posee una dada propiedad en un determinado instante si el subespacio asociado al vector de estado está contenido en el subespacio que representa la propiedad. De acuerdo con la formulación original de la lógica cuántica, es posible definir una estructura lógica de propiedades cuánticas mediante operaciones entre subespacios. La conjunción se corresponde con la intersección entre subespacios en el espacio de Hilbert, la disyunción se corresponde con la suma directa de subespacios, la negación con el complemento ortogonal y, finalmente, la relación de orden asociada a una implicación con la inclusión de subespacios en el espacio de Hilbert. Dados estos elementos, es fácil demostrar que, en general, los retículos de propiedades cuánticas no cumplen las igualdades distributivas. Esto introduce una diferencia crucial respecto de las descripciones clásicas, pues el caso cuántico no responde a una estructura booleana. Ahora bien, pese a estas diferencias, es posible poner en evidencia ciertas características básicas comunes a ambas descripciones al señalar que, ya sea en el caso cuántico o clásico, toda descripción física, en su sentido más básico, se reduce a relaciones entre conjuntos de resultados obtenidos en las mediciones.En el presente trabajo se intentara explotar estas características comunes, y para esto nos valdremos de las siguientes definiciones, que son válidas tanto en el ámbito clásico como en el cuántico:?espacio muestral: es el conjunto de todos los resultados posibles para todas las mediciones consideradas sobre un sistema. En el caso clásico es el espacio de fases. En el caso cuántico es la colección de los subespacios asociados a cada resultado de cada medición.?experimento: es el conjunto de los resultados que puede arrojar una determinada medición. Un experimento será un subconjunto del espacio muestral.?experimentos incompatibles: son experimentos que no están incluidos en un tercer experimento. Así, no existe un experimento que incluya experimentos llamados incompatibles.?Propiedad: es un subconjunto de los resultados pertenecientes a un mismo experimento. Notemos que, como toda propiedad sólo puede ser caracterizada por medio de los resultados de un único experimento, no puede ser un subconjunto de resultados pertenecientes a dos experimentos incompatibles. De este modo, el conjunto de todas las propiedades será la unión de todos los subconjuntos de todos los experimentos. Pero dado que pueden existir experimentos incompatibles, las propiedades no necesariamente están representadas por todos los subconjuntos del espacio muestral. Esto será así sólo en el caso clásico, en el que no existen experimentos incompatibles.Con estas definiciones es posible construir la estructura de propiedades que brinda la descripción de un sistema especificando una serie de experimentos. Con los resultados pertenecientes a todos los experimentos se obtienen las propiedades, con las propiedades y la inclusión utilizada como relación de orden, es posible construir el retículo de propiedades cuya estructura determina la descripción del sistema que ha sido objeto de las mediciones que definen aquellos experimentos.Esta construcción, si bien elaborada mediante conjuntos y operaciones entre conjuntos, permite poner en evidencia de manera sencilla y original las relaciones fundamentales entre las descripciones clásicas y cuánticas. Para ilustrar tales relaciones, aplicaremos el formalismo a un ejemplo elemental pero que exhibe todas las características necesarias para dar cuenta de las descripciones clásicas y cuánticas. Se trata del ejemplo de la luciérnaga cuántica, que aquí reproduciremos en una versión modificada. Sucede que, cuando se imponen restricciones en la manera de testear el sistema por medio de experimentos de modo tal que ningún experimento contenga el espacio de fases completo, el retículo de propiedades que proviene de dichos experimentos exhibe características cuánticas, es decir, resulta ser no distributivo. Además resulta ser isomorfo al retículo de spin 1/2 con dos experimentos. De este modo, las características lógicas de las descripciones cuánticas parecen reducirse a las clásicas cuando estas últimas están sujetas a restricciones o, dicho de otro modo, cuando existen variables que podrían ser testeadas mediante experimentos que están ausentes en la descripción.Además de permitir una comparación entre las características del retículo clásico y del retículo cuántico, nuestra construcción permite el estudio de un aspecto novedoso en este campo: la posibilidad de una dinámica de retículos. Como es bien sabido, la expresión matemática del concepto de experimentos incompatibles viene dada por el conmutador entre operadores. De hecho si dos experimentos son incompatibles, el conmutador entre los operadores (proyectores) asociados a las propiedades de tales experimentos no es nulo. En este caso, el retículo de propiedades que puede construirse sobre la base de dichas propiedades presenta características no booleanas. Por el contrario, si el conmutador es cero, el retículo de propiedades presenta características booleanas. Por otro lado, los trabajos de muestran que, si se estudia la evolución de los sistemas cuánticos desde la perspectiva de Heisenberg (donde los operadores evolucionan), bajo ciertas condiciones la evolución es tal que inicialmente el conmutador entre dos operadores no es cero, pero luego de un tiempo se hace cero. En estos sistemas debería ser posible establecer que el retículo inicial no es booleano y el retículo final sí lo es. De manera que, en el intervalo transcurrido entre el instante inicial y el final, el retículo evoluciona regido por alguna dinámica, la cual debería permitir estudiar el límite booleano de los retículos no booleanos.