Caminos geodésicos de circunferencias

MARCOS SALVAI

Mar del Plata

Otro; LIX Reunión de la Unión Matemática Argentina; 2009

Unión Matemática Argentina

Sea E el espacio de Fréchet de todos los embeddings positivamente orientados de la circunferencia en R^2, y sea E_ el cociente de E modulo los difeomorfismos de la circunferencia que preservan la orientación. Tanto E como E_ tienen métricas riemannianas débiles tales que la proyección canónica pi es una submersión riemanniana. Denotamos por C el espacio de las circunferencias parametrizadas con rapidez constante; así, pi(C) se identifica como el espacio de circunferencias no parametrizadas. Estudiamos las geodésicas en C y en pi(C) munidos del las métricas riemannianas inducidas. También describimos la holonomáa de caminos cerrados en pi(C). Más precisamente, tenemos lo siguiente: Dada una curva gamma en pi(C), comparamos el levantamiento horizontal de gamma a E con el levantamiento de gamma a C_0, el conjunto de circunferencias parametrizadas con ángulo inicial cero. Probamos que la curva phi de difeomofismos de S^1 en la que ambos levantamientos difieren es en realidad una curva en G=PSl(2,R), que actúa en S^1 de la manera canónica. Más aún, phi es tangente a cierta distribución distinguida invariante a derecha en G.