CIEM   05476
CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS DE MATEMATICA
Unidad Ejecutora - UE
congresos y reuniones científicas
Título:
Fibración holomorfa asociada a una nilvariedad compleja abeliana
Autor/es:
A. ANDRADA, M.L. BARBERIS, I. DOTTI
Lugar:
Mendoza
Reunión:
Congreso; LVIII Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2008
Institución organizadora:
Universidad Nacional de Cuyo y Unión Matemática Argentina
Resumen:
Una estructura compleja abeliana en un álgebra de Lie real $\frak
g$ es un endomorfismo $J$ de $\frak g$ que satisface
\begin{equation} J^2=-I, \hspace{1.5cm} [Jx,Jy]=[x,y], \; \;\;
\forall x,y \in \frak g. \label{abel} \end{equation} Si $G$ es un
grupo de Lie con álgebra de Lie $\frak g$, estas condiciones
implican la integrabilidad de $J$ en $G$, es decir, $(G,J)$ es una
variedad compleja tal que las traslaciones a izquierda son
difeomorfismos holomorfos de $G$. Si $\Gamma \subset G$ es un
subgrupo discreto co-compacto arbitrario de $G$, entonces diremos
que la nilvariedad $\Gamma \backslash G$ con la estructura compleja
inducida por $J$ es una nilvariedad compleja abeliana.
Una descomposición $\frak g = \frak g_+ \oplus \frak g _- $, donde
$\frak g _±$ son subálgebras de Lie de $\frak g$, da origen a una
estructura producto $E$ definiendo $E\mid \frak g_±=\pm $Id. Una
estructura compleja-producto en $\frak g$ es un par $\{J, E\}$
formado por una estructura producto $E$ y una estructura compleja
$J$ tales que $JE=-EJ$.
Las estructuras complejas abelianas en álgebras de Lie fueron
consideradas por primera vez en
\cite{bdm} y han sido estudiadas posteriormente en \cite{ba-do}.
La motivación proviene de las propiedades que poseen
las variedades complejas obtenidas al considerar esta clase de
estructuras.
Por ejemplo, en \cite{AD} se da un método para construir
estructuras simplécticas en
$\Bbb R^{4n}$ a partir de estructuras complejas-producto abelianas.
El objetivo de este trabajo es mejorar los resultados de
\cite{ba-do}. Demostramos que toda nilvariedad con una estructura
compleja abeliana admite una fibración holomorfa sobre un toro, con
fibra dada por una nilvariedad con una estructura producto-compleja
abeliana. Exhibimos una familia de ejemplos como aplicación de este
resultado.
\begin{thebibliography}{BDM} \frenchspacing
\bibitem[AD]{AD} A. Andrada, I. Dotti, {\it Double products and hypersymplectic structures on $\Bbb R^{4n}$},
Communications in Math.
Physics, {\bf 262} (2006), 1--16.
\bibitem[BDM]{bdm} M. L. Barberis, I. G. Dotti,
R. J. Miatello, {\it On certain locally homogeneous Clifford
manifolds}, Ann. Glob. Anal. Geom. {\bf 13} (1995), 289--301.
\bibitem[BD]{ba-do} M. L. Barberis, I. Dotti, {\it Abelian complex structures on solvable Lie
algebras}, J. Lie Theory {\bf 14} (2004), 25--34.
\end{thebibliography}