Sobre álgebras derivadas y subvariedades de los zrupoides implicativos

JUAN MANUEL CORNEJO; HANAMANTAGOUDA P. SANKAPPANAVAR

Bahia Blanca

Congreso; Reunión Anual de la UMA; 2016

Instituto de Matemática, Universidad Nacional del Sur

Es conocido que las ´algebras de Boole pueden ser definidas utilizando s´olamente la implicaci´on y una constante. En [4] se demuestra que las variedades de las ´algebras de De Morgan, las ´algebras de Kleene y las ´algebras de Boole son equivalentes por t´erminos a variedades definidas por axiomas que utilizan s´olo un operador implicacional y una constante.Este hecho motiv´o a H. P. Sankappanavar a la introducci´on de una nueva clase ecuacional, $mathcal I$, de ´algebras denominadas {emph zrupoides implicativos}.Un ´algebra $mathbf A = langle A, o, 0 angle$, siendo $o$ un operador binario y $0$ una constante, se dice un emph{zrupoide implicativo} si $mathbf A$ satisface: %(I) $(x o y) o z approx [(z´ o x) o (y o z)´]´$ y $ 0´´ approx 0$ con $x´ : = x o 0$.A todo zrupoide implicativo $mathbf A$, se le puede asociar las siguientes ´algebras, denominadas {em ´algebras derivadas}: $mathbf{A{^{m}}} := langle A, land, 0 angle$, $mathbf{A{^{j}}} := langle A, lor, 0 angle$ y $mathbf{A{^{mj}}} := langle A, land, lor, 0 angle$ donde $x land y := (x o y´)´$ y $x lor y := (x´ land y´)´$.Las variedades $mathcal{I}_{2,0}$,$mathcal{RD}$, $mathcal{SRD}$, $mathcal{C}$, $mathcal{CP}$, $mathcal{A}$, $mathcal{MC}$, y $mathcal{CLD}$se definen en $mathcal{I}$, respectivamente, por: (I$_{2,0}$) $x´´ approx x$, (RD) $(x o y) o z approx (x o z) o (y o z)$, (SRD) $(x o y) o z approx (z o x) o (y o z)$,(C) $ x o y approx y o x$,(CP) $ x o y´ approx y o x´$,(A) $(x o y) o z approx x o (y o z)$,(MC) $x land y approx y land x$, (CLD) $x o (y o z) approx (x o z) o (y o x)$. Este trabajo pretende ser una continuaci´on de [1], [2], [3] y [4] y su prop´osito se puede centralizar en dos enfoques. Primero para cada $mathbf A in mathcal{I}$, se demuestra que $mathbf{A}^m$ es un semigrupo. De este resultado el ´algebra derivada $mathbf{A^{mj}}$ es un bisemireticulado distributivo y, adem´as, un sistema de Birkhoff. Segundo, se verifica que $mathcal{CLD} subset mathcal{SRD} subset mathcal{RD}$ y $mathcal{C} subset mathcal{CP} cap mathcal{A} cap mathcal{MC} cap mathcal{CLD}$, generalizando resultados anunciados en [4].{f oindent Referencias} [1] Cornejo JM, Sankappanavar HP. Sankappanavar. {em Implication zroupoids I}. Aceptado para su publicaci´on en Algebra Universalis. [2] Cornejo JM, Sankappanavar HP (2016) {em Order in implication zroupoids}. Studia Logica 104(3), 417-453. [3] Cornejo JM, Sankappanavar HP (2016) {em Semisimple varieties of implication zroupoids}. Soft Computing, pages 1--13. [4] Sankappanavar HP (2012) {em De {M}organ algebras: new perspectives and applications}. Sci. Math. Jpn. 75(1):21--50