Elementos regulares y elementos booleanos en reticulados residuados

CASTAÑO, DIEGO NICOLÁS; DÍAZ VARELA, JOSÉ PATRICIO; TORRENS, ANTONI

Buenos Aires

Workshop; 3rd MaToMUVI Meeting; 2015

Dado un reticulado residuado (conmutativo, integral y acotado) A = (A, /, /, *, ->, 0, 1), se define el conjunto de los elementos regulares de A como Reg(A) = {a in A: ~~a = a}. Se sabe que Reg(A) = (Reg(A), /, /r, *r, ->, 0, 1) resulta un reticulado residuado involutivo, definiendo x /r y := ~~(x / y) y x *r y := ~~(x * y). En el artículo CDT11a estudiamos la descomponibilidad de álgebras libres en la variedad de reticulados residuados pseudocomplementados y para su estudio fue crucial caracterizar dichos reticulados residuados mediante la estructura de sus elementos regulares. En esta ocación decidimos realizar un estudio más detallado de esta construcción. Surgieron dos nociones asociadas a los elementos regulares: la traducción de Kolmogorov y las variedades regulares. La primera es una transformación sintáctica sobre los términos del lenguaje que permite establecer conexiones entre las ecuaciones válidas en A y las ecuaciones válidas en Reg(A). Las variedades regulares son aquellas variedades cerradas por el operador Reg. Estudiamos diversas propiedades de este tipo de variedades y mostramos que muchas de las variedades estudiadas en la literatura tienen dicha propiedad. También estudiamos la relación entre estas variedades y las variedades de Glivenko. Por otra parte, continuando con el estudio de descomponibilidad de álgebras libres de los artículos CDT11a y CDT11, introdujimos una clasificación de los términos (booleanos) según su valor sobre la constantes del lenguaje. Dicha clasificación ayuda en la determinación de las variedades de reticulados residuados cuyas álgebras libres son descomponibles.