ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Teoría y aplicaciones.

R. O GROSSI

Editorial de la Universidad Nacional de Salta

Año: 2014 p. 446

978-987-633-105-0

La teoría de ecuaciones diferenciales constituye una herramienta formidable para el planteo en términos matemáticos de diversos problemas originados en la ingeniería, la física, la biología y varias otras ciencias que requieren del uso de modelos matemáticos. El análisis infinitesimal desarrollado por Newton y Leibniz proporcionó una teoría imprescindible para el estudio de fenómenos físicos. Así, Newton, Bernoulli y Euler, entre otros grandes matemáticos, comenzaron el estudio de las primeras ecuaciones diferenciales entre las que se destacan la ecuación del calor y la ecuación de ondas. Esto dio inicio a un tremendo desarrollo tanto teórico como práctico de estas ecuaciones. A efectos de que el ingeniero y el científico no matemático puedan aplicar con confianza los procedimientos de la teoría de ecuaciones diferenciales es importante que dominen las técnicas de resolución correspondientes y que tengan un mínimo de conocimiento de la teoría que las fundamenta. El enorme desarrollo de la computación digital, actualmente pone a disposición de los profesionales y científicos a equipos de gran capacidad y sofisticados programas como son los paquetes de cómputo simbólico. Esta situación provoca la discusión sobre la real necesidad de conocer los aspectos teóricos y las técnicas de resolución de las ecuaciones diferenciales. La respuesta a este tipo de cuestionamiento se encuentra claramente al tratar de resolver problemas complejos de las ciencias actuales. El uso de software como caja negra tiene inconvenientes tan serios que no es necesario exponer situaciones concretas. Además, la resolución de un problema suele exigir el uso de herramientas analíticas y numéricas y por lo tanto es necesario una adecuada formación teórica para discernir que tipo de análisis debe hacerse, que método debe aplicarse y que interpretación de los resultados corresponde. Este libro está destinado a ingenieros, físicos y especialistas en matemática aplicada. Se ha realizado un gran esfuerzo por exponer los distintos conceptos en la forma más clara y simple posible, pero sin descuidar el rigor matemático. Casi todos los teoremas y proposiciones se presentan con sus correspondientes demostraciones, excepto las que son muy extensas y técnicas, y que no contribuyen de manera clara a la comprensión del resultado deseado. El capítulo 1 es dedicado a los aspectos introductorios y en particular al desarrollo de los conceptos y definiciones básicas. Se desarrollan aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la construcción de modelos para el análisis del crecimiento de poblaciones y el proceso de vaciado de recipientes entre otras cuestiones. En el segundo capítulo se estudian las ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden y los métodos más comunes para resolverlas. Se tratan las ecuaciones separables, las homogéneas y las exactas. Se incluyen aplicaciones a problemas de la geometría y de la mecánica elemental. El tercer capítulo contiene la teoría y métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Se tratan las ecuaciones homogéneas y las no homogéneas y se presentan las demostraciones de los teoremas que proporcionan los métodos para obtener las correspondientes soluciones. En particular se estudian las ecuaciones de Bernoulli y Riccati. Las ecuaciones diferenciales lineales de orden mayor a uno se consideran en el capítulo 4, con el desarrollo de métodos esenciales como son el de los coeficientes indeterminados y el de variación de los parámetros. El uso de métodos basados en desarrollos en serie de potencias se trata en el capítulo 5. El capítulo 6 contiene la teoría y métodos de resolución de los sistemas de ecuaciones diferenciales. Se utiliza la notación vectorial y se aborda la resolución de los sistemas con coeficientes constantes mediante la teoría de autovalores y autovectores del álgebra lineal. En el capítulo 7 se introduce la transformada de Laplace demostrándose que se trata de una herramienta muy eficaz para la resolución de problemas de valores iniciales que incluyen a ecuaciones diferenciales lineales. El capítulo 8 contiene los elementos básicos de la teoría de problemas de contorno. Además, se desarrollan los elementos básicos de la teoría de los problemas de autovalores. En cada capítulo se propone una lista de problemas que complementan los desarrollos teóricos y prácticos. En total se incluyen 439 problemas destinados a complementar la teoría correspondiente y a desarrollar en el lector habilidad y confianza en el manejo de las ecuaciones diferenciales. Este libro, tiene su origen en los cursos de análisis numérico y matemática aplicada, dictados por el suscrito en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Salta.