Conjuntos de muestreo y de interpolacion universales en grupos localmente compactos abelianos

JORGE ABEL ANTEZANA; MARÍA GUADALUPE GARCÍA

Mendoza

Congreso; SUMA 2019; 2019

Universidad Nacional de Cuyo

\begin{document}Sean $G$ un grupo LCA y $\Omega$ un subconjunto precompacto medible Borel de $\widehat{G}$, el grupo dual de $G$. Un conjunto $\Lambda \subseteq G$ se denomina conjunto estable de muestreo para el espacio de Paley Wiener $PW_\Omega$ si las evaluaciones en elemento de $\Lambda$ forman un marco. Por otra parte, un conjunto $\Gamma$ se dice conjunto de interpolación estable para $PW_\Omega$ si para cualquier $\left\{ c_\gamma \right\}_{\gamma \in \Gamma} \in \ell^2(\Gamma)$ el problema de interpolación $$f(\gamma) = c_\gamma$$ tiene una solución $f \in PW_\Omega$. Landau probó 1967 que un conjunto de muestreo $\Lambda \subset\mathbb{R}^d$ (resp. interpolación $\Gamma$) para $PW_\Omega$ satisface que $\mathcal{D}^-(\Lambda) \geq \left|\Omega\right|$ (resp. $\mathcal{D}^+(\Gamma) \leq \left|\Omega\right|$), donde $\mathcal{D}^-$ ($\mathcal{D}^+$) denota la densidad inferior (superior) de Beurling. En 2008 dichas condiciones fueron extendidas por Gr\"ochenig, G. Kutyniok y K. Seip a grupos LCA. Cuando $\mathcal{D}^+(\Lambda)= \mathcal{D}^-(\Lambda)$ se dice que el conjunto $\Lambda$ tiene densidad uniforme y la denotamos $\mathcal{D}$. Si $\Lambda$ cumple esta última condición y es de muestreo estable (resp. interpolación estable) para cualquier $PW_\Omega$, tal que $|\Omega|\mathcal{D}(\Lambda)$), se denomina universal. En [2] se probó que los grupos que admiten un cuasi-cristal simple poseen conjuntos de muestreo (resp. interpolación) universales, ya que los cuasi-cristales simples poseen dicha propiedad. Sin embargo, no todo grupo localmente compacto abeliano admite cuasi-cristales simples, como por ejemplo, el grupo $\mathbb{R} \times \mathbb{Z}_2^3$. En esta charla hablaremos sobre la existencia de conjuntos de muestreo y de interpolación universales para grupos que no poseen cuasi-cristales simples. Más aún, en [1] se probó la existencia de conjuntos de muestreo e interpolación arbitrariamente cercanos a la densidad crítica $m_{\widehat{G}}(\Omega)$ para $PW_\Omega$. Luego, también comentaremos que tales conjunto no sólo existen, sino que también se los pueden construir con la propiedad de universalidad. \begin{thebibliography}{XXXXXX}\bibitem{AAC} E. Agora, J. Antezana and C. Cabrelli,\textit{Multi-tiling sets, Riesz bases, and sampling near the critical density in LCA groups}, Adv. Math. {\bf{285}} (2015) 454-477.\bibitem{AACM} E. Agora, J. Antezana, C. Cabrelli and Basarab Matei,\textit{Existence of quasicrystals and universal stable sampling and interpolation in LCA groups}, Trans. Amer. Math. Soc. (2019).\end{thebibliography}\end{document}