La media de Karcher de tres matrices definidas positivas

GHIGLIONI, EDUARDO; LIM, YONGDO; MIKLÓS, PÁLFIA

Congreso; VirtUMA 2020; 2020

Sea $\mathbb{P}_N$ el espacio de matrices definidas positivas $N\times N$ el cual es una variedad de Cartan-Hadamard Riemanniana equipada con la métrica $\delta(A,B)=||\logA^{-1}B||_2$, donde $\|X\|_2:=\sqrt{\mbox{tr} X^2}$ para matrices Hermitianas$X.$ La media geométrica de dos elementos $A$ y $B$ de $\mathbb{P}_N$está definida por$$A\#B:=A^{\frac{1}{2}}\left(A^{-\frac{1}{2}}BA^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{\frac{1}{2}}.$$Notablemente, la media geométrica tiene la siguiente formula lineal para matrices definidas positivas $2\times 2$ de determinante uno, \begin{equation*}A \# B = \frac{A +B}{\sqrt{\det(A+B)}}.\end{equation*}Por otro lado, la media de Karcher de $n$ matrices pertenecientes a $\mathbb{P}_N$ está definida por$$\Lambda(A_1,\ldots,A_n):=\underset{X\in \mathbb{P}_N}{\mbox{argmin}}\ \sum_{k=1}^n \delta^2(X,A_k).$$Esta es una extensión natural de la media geométrica de dos variables. Salvo en algunas excepciones se desconoce una formula cerrada para la media de Karcher. Observar que la media de Karcher $\Lambda(A_1,\dots,A_n)$ pertenece a la capsula convexa Riemannianade las matrices $A_j$'s. Sin embargo, en general es aún más difícil describir la capsula convexa Riemanniana. Por lo cual, encontrar una formula cerrada para $\Lambda(A_1,\dots,A_n)$ es problemático incluso para tres matrices definidas positivas $2\times 2$. En esta charla vamos a dar una clasificación de las matrices definidas positivas $2\times 2$ de determinante uno tales que\begin{equation*}\Lambda(A,B,C) = \frac{A +B+C}{\sqrt{\det(A+B+C)}}.\end{equation*}