Matrices no hermitianas con complemento de Schur definido positivo

FRANCISCO MARTÍNEZ PERÍA

La Plata

Congreso; LXVII Reunión Anual de Comunicaciones Científicas - UMA 2018; 2018

Unión Matemática Argentina

Dadas una matriz definida positiva $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ y una matriz hermitiana $D\in \mathbb{C}^{m\times m}$, ca\-rac\-terizaremos bajo qu\'e condiciones existe una matriz estrictamente contractiva $K\in \mathbb{C}^{n\times m}$ tal que la matriz por bloques (no hermitiana) definida por: \[S=\left[\begin{array}{cc}A & -AK \\K^*A & D\end{array} \right],\]tiene complemento de Schur definido positivo con respecto a su submatriz~$A$. Bajo estas condiciones, construiremos una matriz estrictamente contractiva~$K$ particular, la cual depende de ciertos par\'ametros $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r$. A partir de \'esta calcularemos los autovalores de $S$, en t\'erminos de los autovalores de $A$, los de $D$, y los par\'ametros antes mencionados. A pesar de que en general $S$ no es diagonalizable, mostraremos que si los par\'ametros son suficientemente peque\~nos entonces $S$ es diagonalizable y tiene s\'olo autovalores positivos.Estos resultados forman parte de un trabajo en colaboración con Thomas Berger, Juan I. Giribet y Carsten Trunk.