IAM   02674
INSTITUTO ARGENTINO DE MATEMATICA ALBERTO CALDERON
Unidad Ejecutora - UE
congresos y reuniones científicas
Título:
Minimizadores locales de distancias al operador de marco
Autor/es:
PEDRO GUSTAVO MASSEY; NOELIA BELÉN RIOS
Lugar:
Ciudad Autónoma de Buenos Aires
Reunión:
Congreso; RSME - UMA 2017; 2017
Institución organizadora:
Universidad de Buenos Aires
Resumen:
Sean $S$ una matriz positiva en $mathbb C^{dimes d}$ y $mathbf{a}=(a_i)_{i=1}^k$ un vector de entradas reales positivas ordenado de manera no creciente. Se define el conjunto de las familias de vectores con normas predeterminadas por $mathbf{a}$, como$$mathbb{T}_{d}(mathbf{a}) := { mathcal G={g_i}_{i=1}^k in (mathbb C^d)^{k} : left|g_{i}ight|^2=a_i, ,, orall i=1,cdots, k}.$$La extit{distancia al operador de marco} se define como la función $Phi_{(S,a)}=Phi:mathbb{T}_{d}(mathbf{a})ightarrow mathbb R_{geq 0}$ dada por$$Phi(mathcal G)=left|S-S_{mathcal G}ight|_2,$$donde $S_{mathcal G}=sum_{i=1}^k g_i otimes g_i$ es el operador de marco de la familia $mathcal G$, y $left|cdotight|_2$ es la norma Frobenius de matrices.Suponiendo que $kgeq d$ y que el vector $mathbf{a}$ está mayorizado por el espectro de la matriz $S$, N. Strawn conjeturó en cite{strawn} que los minimizadores locales de $Phi$ en $mathbb{T}_{d}(mathbf{a})$ son minimizadores globales. Recientemente fue probado en cite{dnp} que la conjetura es verdadera, como una aplicación de un problema de completaciones de marcos con normas predeterminadas, incluso sin la hipótesis de mayorización y de que $kgeq d$. La conjetura de Strawn puede generalizarse de la siguiente manera; para $S$ una matriz positiva en $mathbb C^{dimes d}$, $mathbf{a}=(a_i)_{i=1}^k$ un vector de entradas reales positivas ordenado de manera no creciente, y $N$ una norma unitariamente invariante estrictamente convexa, se define la función extit{distancia al operador de marco generalizada},$Phi_{(N,S,a)}=Phi_N:mathbb{T}_{d}(mathbf{a})ightarrow mathbb R_{geq 0}$ dada por$$Phi_N(mathcal G)=N(S-S_{mathcal G}).$$La pregunta ahora es si los minimizadores locales de $Phi_N$ en $mathbb{T}_{d}(mathbf{a})$ son glo-ba-les.En esta charla contaremos algunos resultados obtenidos sobre los minimizadores locales y los minimizadores globales de dicha función, que llevan a pensar que la conjetura también es verdadera en este caso.