Congruencia de operadores autoadjuntos

GUILLERMINA FONGI; ALEJANDRA MAESTRIPIERI

Mendoza

Congreso; LVIII Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2008

Unión Matemática Argentina

Sean $\mathcal{H}$ un espacio de Hilbert y $L(\mathcal{H})$ el álgebra de operadores lineales acotadosen $\mathcal{H}$. Sean $L(\mathcal{H})^+$ el cono de operadores positivos, $L(\mathcal{H})^s$ el subconjunto  de operadores autoadjuntos y $GL(\mathcal{H})$ el grupo de operadores inversibles de $L(\mathcal{H})$.Dos rangos de operadores  $\mathcal{R}$ y $\mathcal{S}$ se dicensimilares si existe  $g \in GL(\mathcal H)$ tal que$mathcal{R}=g(mathcal{S})$ y unitariamente equivalentes si $g$ se puede tomar unitario. Estas nociones son  equivalentes.Dos operadores $a, b \in L(\mathcal H)$ son equivalentes si existen   $g, f \in GL(\mathcal H)$ tales que $b=gaf$; $a$ y $b$ son   congruentes si existe $g \in GL(\mathcal H)$ tal que $b=gag^*$.Dado un operador autoadjunto $a$, caracterizamos el conjunto, $mathcal O_a$, de operadores congruentes con $a$. En el caso positivo vale que dos operadoresson equivalentes si y sólo si son congruentes, o equivalentemente si sus rangos son unitariamente equivalentes. Esto no vale para operadores autoadjuntos. Sean $a, b in L(mathcal H)^s$ con descomposiciones positivas $a=a_1-a_2$ y $b=b_1-b_2$;  es decir $a_i, b_i \in L(\mathcal H)^+$  tales que $a_1a_2=0$ y $b_1b_2=0$. Si$R(b_i)$ es unitariamente equivalente a  $R(a_i)$  para $i=1,2$ y $N(b)$ es unitariamente equivalente a  $N(a)$, entonces $b \in \mathcal{O}_a$. Además si  $v_a, v_b$ son las isometrías parciales de  las descomposiciones polares de $a, b \in L(\mathcal{H})^s$, probamos que si $b in mathcal{O}_a$ entonces $v_b \in \mathcal{U}\mathcal{O}_{v_a}$,  donde$\mathcal{U}\mathcal{O}_{v_a}={uv_au^*, u unitario}$ es laórbita unitaria de $v_a$. Si $a \in L(\mathcal H)^s$ es de rango cerrado vale que $b \in \mathcal{O}_a$ si y sólo si $v_b \in \mathcal U \mathcal{O}_{v_a}$.