Completaciones óptimas a marcos con normas predeterminadas

MASSEY, PEDRO; RUIZ, MARIANO; STOJANOFF, DEMETRIO

Mar del Plata

Congreso; el Encuentro Nacional de Analistas “Alberto Calderón”; 2012

Grupo de investigación sobre análisis armónico y geometría fractal, Dpto Matematica-UBA

Sea $\mathcal F_0=\{f_j\}_{j=1}^n$ una familia de vectores en $\mathbb C^d$ y sea $\mathbf a=\{a_j\}_{j=1}^k$ una familia finita de n\'umeros reales positivos ordenada en forma decreciente. Dada $\mathcal G=\{g_j\}_{j=1}^k$ una familia de vectores en $\mathbb C^d$ decimos que la familia $\mathcal F=(\mathcal F_0,\mathcal G)$ es una {\it $\mathbf a$-completaci\'on de $\mathcal F_0$ a un marco}, si $\|g_j\|^2=a_j$, $1\leq j\leq k$ y $\mathcal F$ es un marco para $\mathbb C^d$. Las propiedades de estabilidad del algoritmo de codificaci\'on-decodificaci\'on de las distintas $\mathbf a$-completaciones de $\mathcal F_0$ a un marco var\'\i an seg\'un las relaciones entre las familias $\mathcal F_0$ y $\mathcal G$. De esta forma, surge el problema de considerar $\mathbf a$-completaciones de $\mathcal F_0$ que den lugar a procesos m\'as estables. Una posible medida de estabilidad est\'a dada por el funcional $$P_{E}((\mathcal F_0,\mathcal G))=\text{Tr}[(\sum_{j=1}^n f_j\otimes f_j+ \sum_{j=1}^k g_j\otimes g_j)^{-1}] \ .$$ Otra posible medida de estabilidad est\'a dada por el denominado potencial de Benedetto-Fickus $$P_{BF}=((\mathcal F_0,\mathcal G))=\text{Tr}[(\sum_{j=1}^n f_j\otimes f_j+ \sum_{j=1}^k g_j\otimes g_j)^{2}] $$ La charla est\'a basada en trabajos conjuntos con Mariano Ruiz y Demetrio Stojanoff.