Proyecciones normales en espacios de Krein

ALEJANDRA MAESTRIPIERI; FRANCISCO MARTÍNEZ PERÍA

Córdoba

Congreso; IV Congreso Latinoamericano de Matemáticos; 2012

El objetivo de esta charla es, fijado un espacio de Krein $mathcal{K}$ con simetr´{i}a fundamental $J$, presentar aquellas proyecciones actuando en $mathcal{K}$ que resultan $J$-normales, es decir, aquellas $Q$ que satisfacen $QQ^# = Q^#Q$, siendo $Q^#$ el operador $J$-adjunto de $Q$. Es bien sabido que una proyecci´on $Q$, actuando en un espacio de Hilbert $mathcal{H}$, es normal ($QQ^* = Q^*Q$) si y s´olo si es autoadjunta ($Q = Q^*$). En cambio, si $mathcal{K}$ es un espacio de Krein, es f´acil encontrar proyecciones $J$-normales que no son $J$-autoadjuntas. Si $mathcal{S}$ es el rango de una proyecci´on $J$-autoadjunta, ´este tiene un complemento $J$-ortogonal en $mathcal{K}$. Estos subespacios se denominan emph{regulares} y fijado un subespacio regular $mathcal{S}$, existe una ´unica proyecci´on $J$-autoadjunta con rango $mathcal{S}$. En cambio, dada una proyecci´on $J$-normal $Q$, $R(Q)$ es un subespacio emph{pseudo-regular}, es decir, es la suma directa de su parte isotr´opica $R(Q)^circ$ y de un subespacio regular (ver cite{G}). Se puede probar que un mismo subespacio pseudo-regular puede admitir infinitas proyecciones $J$-normales. A lo largo de esta presentaci´on discutiremos diferentes caracterizaciones de las proyecciones $J$-normales. Adem´as, fijado un subespacio pseudo-regular, parametrizaremos el conjunto de proyecciones $J$-normales que lo tienen como rango.