Envolventes inyectivas y multiplicadores locales en C*-álgebras con traza continua

MARTIN ARGERAMI; PEDRO MASSEY; DOUGLAS FARENICK

Tucumán

Congreso; LXI Reunion Anual de la U.M.A.; 2011

Unión Matemática Argentina

Dada una $C^*$-´algebra $A$ se define el ´algebra de multiplicadores locales de $A$, notada $M_{ m loc}(A)$, como el $C^*$-l´i mite directo del sistema ${M(I)}_{Iin mathcal I_e(A)}$ de ´algebras de multiplicadores de ideales esenciales de $A$. Pedersen cite{P} introdujo $M_{ m loc}(A)$ con el objeto de representar las derivaciones de $A$ como derivaciones inner en $M_{ m loc}(A)$ para $C^*$-´algebras separables $A$. Frank cite{F} ha mostrado que  $$Asubset M_{ m loc}(A)subset M_{ m loc}^{[2]}(A) subset mathcal I(A)$$ donde $M_{ m loc}^{[2]}(A)=M_{ m loc}(M_{ m loc}(A))$ y  $mathcal I(A)$ denota la envolvente inyectiva de $A$ construida por Hamana cite{H}. Sucede que las ´algebras (junto con los monomorfismos) de la cadena anterior resultan dif´i ciles de calcular expl´i citamente.Sea $mathcal F=(T,{H_t}_{tin T},Omega)$ un fibrado continuo de espacios de Hilbert sobre un espacio localmente compacto y Hausdorff $T$. En este caso $mathcal F$ tiene asociado una $C^*$-´algebra $mathcal A(mathcal F)$, formada por los campos de operadores compactos que son l´i mites locales de sumas finitas de operadores de rango 1 de la forma $ uotimes mu$, donde $ u,,muin Omega$. Las ´algebras $mathcal A(mathcal F)$ son una versi´on continua del ´algebra de operadores compactos sobre un espacio de Hilbert.  En esta charla, basada en trabajos conjuntos con M. Argerami y D. Farencik  mostramos que $mathcal I(mathcal A(mathcal F))$ puede representarse como el ´algebra de los endomorfismos adjuntables $B(Omega_{ m wk})$ de un m´odulo de Hilbert-Kaplansky naturalmente asociado al fibrado continuo $mathcal F$. Describimos expl´i citamente como representar $mathcal A(mathcal F)$ en $B(Omega_{ m wk})$  e identificamos el ´algebra $M_{ m loc}(mathcal A(mathcal F))$ dentro de $B(Omega_{ m wk})$. Esta descripci´on generaliza los resultados de cite{DM}.   ibitem{DM} M. Argerami, D. Farenick, y P. Massey. The gap between local multiplier algebras of $C^*$-algebras. Q. J. Math., 60(3) 273-281, 2009.ibitem{F} M. Frank. Injective envelopes and local multiplier algebras of $C^*$-algebras. Int. Math. J., 1(6), 611-620, 2002.ibitem{H} M. Hamana. Injective envelopes of $C^*$-algebras. J. Math. Soc. Japan, 31(1), 181-197, 1979.ibitem{P} G.K. Pedersen, Approximating derivations on ideals of $C*$C-algebras. Invent. Math. 45 (1978), no. 3, 299-305.