Semiretículos hemiimplicativos simétricos,

J.L. CASTIGLIONI; H.J. SAN MARTÍN

Bahía Blanca

Encuentro; LXV Reunión de comunicaciones cientícas (UMA); 2016

UMA

Un semiretículo hemiimplicativo es un ínf-semiretículo acotado $(A, \wedge, 1)$ provisto de una operación binaria $\to$ que satisface que para todo $a, b, c \in A$,$a \leq b \to c$ implica que $a \cdot b \leq c$ y que para todo $a \in A$, $a \to a = 1$. Observar que la primera condición es uno de los condicionales quesatisface el residuo del ínfimo. La clase de todos los semiretículos hemiimplicativos forma una variedad [SM]. Estas estructuras constituyen un contexto general parael estudio de diferentes clases de álgebras de interés para la lógica, como por ejemplo, la de semiretículos implicativos, la de $\{\wedge, \to, 1\}$-reductos deálgebras de semi-Heyting [Sank] y la de $\{\wedge, \to, 1\}$-reductos de álgebras RWH [CJ].En todo semiretículo hemiimplicativo, $(A, \wedge, \to, 1)$, es posible definir una operación binaria derivada por: $a \sim b := (a \to b) \wedge (b \to a)$. Dotando al $\{\wedge, 1\}$-reducto deun semiretículo hemiimplicativo $A$, de la operación binaria $\sim$, se obtiene nuevamente un semiretículo hemiimplicativo $(A, \wedge, \sim, 1)$, el cual satisface además la ecuación $a \sim b = b \sim a$.Motivados por la observación anterior, llamemos semiretículos hemiimplicativos simétricos a los elementos de la subvariedad de semiretículos hemiimplicativos determinada por la ecuación $a \to b = b \to a$.La correspondencia que asocia $(A, \wedge, \to, 1)$ con $(A, \wedge, \sim , 1)$ define un funtor $S$ de la categoría de semiretículos hemiimplicativos en la de semiretículos hemiimplicativos simétricos.En esta charla, mostraremos varios ejemplos de estructuras de semiretículo hemiimplicativo con que se pueden dotar a cualquier semiretículo. Estudiaremos la imagen del funtor $S$, antes definido, y estudiaremosalgunas de las propiedades de este funtor. Finalmente, daremos una descripción de los retículos de congruencias en algunas clases particulares de semiretículos hemiimplicativos.