(Semi)retículos débilmente pseudocomplementados

J.L. CASTIGLIONI; R. C. ERTOLA

Santa Fe

Congreso; LXIV Reunión anual de comunicaciones cientícas (UMA),; 2015

Universidad Nacional del Litoral

Un elemento $x$ en un ret\'{\i}culo $L$, con primer elemento $0$, se dice pseudocomplementado si existe un m\'aximo elemento $x^\ast$ en $L$ tal que $x \wedge x^\ast = 0$; en tal caso, el elemento $x^\ast$ se denomina el pseudocomplemento (o inf-complemento) del elemento $x$ en $L$. Un ret\'{\i}culo con primer elemento se dir\'a pseudocomplementado, si todo elemento del ret\'{\i}culo posee pseudocomplemento. Notemos que pedir que un re\'{\i}culo $L$ sea pseudocomplementado equivale a pedir que para todo par de elementos $x$, $y$ en $L$, $x \wedge y = 0$ si y s\'olo si $x \leq y^\ast$.Una generalizaci\'on natural del pseudocomplemento es la de pseudocomplemento relativo. Dados $x, y \in L$, el pseudocomplemento de $x$ relativo a $y$ es, de existir, el elemento $x \ast y$ de $L$ tal que se cumple que para todo $a \in L$, $a \wedge x \leq y$ si y s\'olo si $a \leq x \ast y$. Un ret\'{\i}culo (no necesariamente acotado) tal que para todo par de elementos $x$ e $y$, existe el pseudocomplemento de $x$ relativo a $y$ se denomina un \'algebra de Heyting generalizada (un \'algebra de Heyting, si adem\'as hay primer elemento). Es bien sabido que para toda \'algebra de Heyting (generalizada) su ret\'{\i}culo subyacente es distributivo. No es este el caso para los ret\'{\i}culos pseudocomplementados, aunque la abrumadora mayor\'{\i}a de la bibliograf\'{\i}a sobre el tema aborda el caso distributivo.Las \'algebras de Heyting son las \'algebras de Lindenbaum-Tarski del c\'alculo proposicional intucionista, donde la implicaci\'on intuicionista se interpreta como el pseudocomplemento relativo. En particular, la distributividad de la conjunci\'on y la disyunci\'on se dan intuicion\'{\i}sticamente.Resulta natural entonces plantearse la siguiente pregunta: >Ser\'a posible definir alguna variante (m\'as d\'ebil) del pseudocomplento relativo, de modo que su existencia para todo par de elementos no fuerce distributividad, pero que conserve la mayor cantidad posible de las ''buenas propiedades'' de la implicaci\'on intuicionista?En esta charla daremos una posible respuesta a dicha pregunta, principalmente desde la perspectiva algebraica, y abordaremos algunos de los aspectos l\'ogicos relativos a dicha respuesta.