12-01-06 | Página 12 | Contratapa
La Conjetura de Goldbach

Por Adrián Paenza


Estoy seguro de que a ustedes les habrá pasado alguna vez, que se tropezaron con una idea, pero no estaban tan seguros de que fuera cierta y se quedaron un rato pensándola. Si no les ocurrió nunca, empiecen ahora, porque nunca es tarde. Pero lo maravilloso es poder “entretener” en la cabeza de uno algún problema cuya solución sea incierta. Y darle vueltas, mirarlo desde distintos ángulos, dudar, empezar de nuevo. Enfurecerse con él. Abandonarlo para reencontrarlo más tarde. Es una experiencia inigualable: se las recomiendo.

En la historia de la ciencia, de las distintas ciencias, hay muchos ejemplos de situaciones como las que expuse en el párrafo anterior. En algunos casos, los problemas planteados pudieron resolverse sencillamente. En otros, las soluciones fueron mucho más difíciles, llevaron años (hasta siglos). Pero, como ustedes ya sospechan a esta altura, hay muchos, de los que todavía no se sabe si son ciertos o falsos. Es decir: hay gente que ha dedicado la vida a pensar que cierto problema tenía solución, pero no la pudieron encontrar. Y otros muchos que pensaron que era falso, pero no pudieron encontrar un contraejemplo para exhibir.

De todas formas, resolver alguno de los que aún permanecen “abiertos” traería fama, prestigio y también dinero al autor.

Quiero hablar sobre una conjetura conocida con el nombre de “La Conjetura de Goldbach”.

El 7 de junio de 1742 (piensen entonces que ya pasaron casi 264 años), Christian Goldbach le escribió una carta a Leonhard Euler (uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos), sugiriéndole que pensara una demostración para la siguiente afirmación porque a él no se le ocurría:

“Todo número par positivo, mayor que dos, se puede escribir como la suma de dos números primos.”

¿Qué es un número primo? Es aquel que sólo es divisible por sí mismo y por uno. Por ejemplo, 2, 3, 5, 7 y 11 son números primos. Pero 6 y 15 no lo son. Seis no es primo porque es divisible por 2 y por 3, mientras que 15 no lo es porque es divisible por 3 y por 5 (además de 1 y 15). Ah, además, el número uno no se considera primo.

Pero volviendo a Goldbach, veamos algunos ejemplos en donde es muy fácil comprobar que la conjetura es cierta

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 7 + 7 = 3 + 11

16 = 5 + 11

18 = 7 + 11 = 5 + 13

20 = 3 + 17 = 7 + 13

22 = 11 + 11

24 = 11 + 13 = 7 + 17

.....

864 = 431 + 433

866 = 3 + 863

868 = 5 + 863

870 = 7 + 863,

y así podríamos seguir.

Al principio, Euler no le prestó demasiada atención al problema porque le pareció trivial. Bueno, trivial o no, Euler no pudo encontrar la demostración y, en realidad, luego de más de dos siglos y medio todavía no pudo ser resuelto por ningún humano.

La novela Uncle Petros & Goldbach’s Conjecture del escritor de origen australiano y criado en Grecia, Apostolos Doxiadis –publicada en 1992 en griego y traducida a diversos idiomas en el año 2000– es la que promovió que las compañías editoras Faber y Faber de Gran Bretaña y Bloomsbury Publishing de Estados Unidos ofrecieran un millón de dólares a quien pudiera resolver la Conjetura de Goldbach. El premio se lo podía llevar cualquier persona que diera una demostración durante los años 2000 y 2002. Nadie la encontró. Pero tampoco nadie encontró que fuera falsa.

Doxiadis es también reconocido como uno de los iniciadores de las novelas con “trama matemática” y, además, ha dirigido varias obras de teatro así como algunas películas.

Pero lo que importa en este caso es que la popularidad alcanzada por la novela devino en la oferta (que nadie pudo reclamar aún) de los editores. ¿Será acaso el turno de alguno de los lectores de Página/12?

Desde 1742 hasta hoy nadie pudo resolver el problema, pero tampoco nadie pudo demostrar que fuera falso. En 1855 se sabía que los primeros 10.000 números la cumplían y en 1940 se llegó a los 100.000.

Hasta hoy (enero del 2006), se sabe que la conjetura es cierta para todos los números pares que sean menores que 4 x 1013, o sea menores que ¡un número 4 seguido de trece ceros!

De todas formas, por más que las computadoras sigan avanzando, nunca llegarán a probarlo para todos los números. Para ello, se necesita una prueba abstracta, una teoría matemática que sea capaz de demostrar que Goldbach, profesor de matemática en San Petersburgo, tenía razón.

El desafío que presentó en su momento la empresa Faber fue un intento de conseguir la mayor publicidad posible para su último libro El tío Petros y la Conjetura de Goldbach. Igualmente, yo perdería las esperanzas: se calcula que en todo el mundo hay sólo 20 personas que podrían resolver esta conjetura. Y no me queda claro que sea ni quien esto escribe. Ni quien lo lee.

Para terminar, quiero dejar planteada otra conjetura también sugerida por Goldbach, conocida con el nombre de “La Conjetura Impar de Goldbach”, que dice que todo número impar mayor que cinco se escribe como la suma de tres números primos. Al día de hoy también permanece como un problema abierto de la matemática, aunque se sabe que es cierta hasta números impares de siete millones de dígitos. Si bien toda conjetura puede resultar falsa, la opinión “educada” de los expertos en teoría de números es que lo que pensó Goldbach es cierto y sólo es una cuestión de tiempo hasta que aparezca la demostración.